第六讲圆锥曲线的综合问题

1、第六讲 圆锥曲线的综合问题一复习目标灵活运用解析几何的常用方法,通过建立数学模型实现应用问题向数学问题的转化；通过应用问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.二、题型归类题型1圆锥曲线中的参数问题与定点、定值问题例1(1)若动点P(x,y)在曲线上变化，则x2+2y的最大值为（ A ）ABCD2(2) 椭圆和双曲线的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cosF1PF2的值是（ A ）A B C D(3)若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为( )A.1B.1 C.D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭

2、圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=. kmin=. 答案：C例2：（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.MNbaOxyl（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求MON的大小.剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由=0易得MON=90.亦可由

3、kOMkON=1求得MON=90.（1）解：直线l的截距式方程为+=1. （2）证明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 点M、N的纵坐标y1、y2为的两个根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以OMON，即MON=90.评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力题型2。圆锥曲线的综合问

4、题例3已知曲线C：（1）由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，点P分所成的比为，问：点P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；（2）如果直线l的一个方向向量为，且过点M（0，），直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程解：（1）、设，则， 点P分所成的比为 代入中，得为P点的轨迹方程。当时，轨迹是圆。（2）由题设知直线l的方程为， 设联立方程组 ，消去得：. 方程组有两解 且 或且 又已知 ，M、A、B三点共线，由向量知识得或 而 又 解得（舍去）或 曲线C的方程是. （也可以用两点间的距离公式得到，以下解法同。）例4在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.

5、 （1）如果直线l过抛物线的焦点，求的值； （2）如果证明直线l必过一定点，并求出该定点.解：（1）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得y2-4ty-4=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则 = （2）法一：设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x消去x，得y2-4ty-4b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)则y1+y2=4t y1y2=4b =令直线l过定点（2，0）法二：设 当直线l的斜率不存在时，lx轴x1=x2=4 x1=x2=2此时直线l过（2，0）点当直线l的斜率存在时 l的方程为： 即 此时直线l过定点（2，0）综上，直线l过

6、定点（2，0）.例5已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kxy=0该直线与圆 相切， 双曲线C的两条渐近线方程为 故设双曲线C的方程为，又双曲线C的一个焦点为，双曲线C

7、的方程为 （2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1| 根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）则 代入并整理得点N的轨迹方程为 （3）由 令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根.因此 又AB中点为 直线L的方程为 令x=0，得 故b的取值范围是 四作业1如图，已知双曲线C1：=1(m0,n0),圆C2：（x2）2+y2=2,双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切，且双曲线C1的一个顶点A与

8、圆心C2关于直线y=x对称，设斜率为k的直线l过点C2.（1）求双曲线C1的方程；（2）当k=1时，在双曲线C1的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2. 解：（1）双曲线C1的两条渐近线方程为： y=x,顶点A为（0，）双曲线C1的两渐近线与圆C2：（x2）2+y2=2相切= 即=1 又A(0, )与圆心C2（2，0）关于直线y=x对称 =2 由、解得：m=n=4 故双曲线C1的方程为：y2x2=4(2)当k=1时，由l过点C2（2，0）知：直线l的方程为：y=x2设双曲线C1上支上一点P（x0,y0）到直线l的距离为2，则y02-x02=4x0-y0=2+2 y02x02=4 =2 故 或 y02x02=4 x0y0=22解得 x0=2 或 x0=2 y0=2 y0=2又点P（x0,y0）在双曲线C1的上支上，故y00故点P的坐标为（2，2）.ABCD2如图，在直角梯形ABCD中，BAD=90O，ADBC,AB=2,AD=1.5,BC=0.5，椭圆以A、B为焦点且经过点D（1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（2）若点E满足,问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线 l与AB夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由xy解：（1