第六节(直接证明与间接证明

1、第六节直接证明和间接证明知识能否忆起一、 直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证二、间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法小题能否全取1(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角

2、至少有一个不大于60”时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析：选B假设为“三个内角都大于60”2设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b大小关系为()AabBabCab Dab解析：选Aalg 2lg 5lg 101，bex1，则ab.3命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：选B因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论4用反证法证明命题“

3、如果ab，那么”时，假设的内容是_解析：“如果ab，那么”若用反证法证明，其假设为 .答案： 5如果abab，则a、b应满足的条件是_解析：abab()2()0a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab1.证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法(2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决但在证明过程中，注意文字语言的准确表述2使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾综合法典题导入例1(2011大纲全国卷)设数列an满足a10且1.(1)

4、求an的通项公式；(2)设bn，记Snk，证明：Sn1.自主解答(1)由题设1，得是公差为1的等差数列又1，故n.所以an1.(2)证明：由(1)得bn，Snk1bc，且abc0，求证0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：选Cab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.6不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列解析：选B由已知条件，

5、可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差数列7设a2，b2，则a，b的大小关系为_解析：a2，b2两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然，.ab.答案：ab8(2012黄冈质检)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足_解析：由余弦定理cos A0，所以b2c2a20，即a2b2c2.答案：a2b2c29(2012肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小cn1cn.答

6、案：cn1cn10若abcd0且adbc，求证：.证明：要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立11求证：a，b，c为正实数的充要条件是abc0，且abbcca0和abc0.证明：必要性(直接证法)：a，b，c为正实数，abc0，abbcca0，abc0，因此必要性成立充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc0，则它们只能是两负一正，不妨设a0，b0，c0.又abbcca0，a(bc)bc0，且bc0，a(bc)0.又a0，bc0.abc0这与abc0

7、相矛盾故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数12设f(x)ex1.当aln 21且x0时，证明：f(x)x22ax.证明：欲证f(x) x22ax，即ex1 x22ax，也就是exx22ax10.可令u(x)exx22ax1，则u(x)ex2x2a.令h(x)ex2x2a，则h(x)ex2.当x(，ln 2)时，h(x)0，函数h(x)在(，ln 2上单调递减，当x(ln 2，)时，h(x)0，函数h(x)在ln 2，)上单调递增所以h(x)的最小值为h(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.因为aln 21，所以h(ln 2) 22ln 22(ln 21)0，即h(l

8、n 2)0.所以u(x)h(x)0，即u(x)在R上为增函数故u(x)在(0，)上为增函数所以u(x)u(0)而u(0)0，所以u(x)exx22ax10.即当aln 21且x0时，f(x)x22ax.1已知函数yf(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2D(x1x2)，都有f，则称yf(x)为D上的凹函数由此可得下列函数中的凹函数为()Aylog2x ByCyx2 Dyx3解析：选C可以根据图象直观观察；对于C证明如下：欲证f，即证2.即证(x1x2)20.显然成立故原不等式得证2(2012邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：

9、“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析：若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：3已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点若f(c)0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试比较与c的大小解：(1)证明：f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的根又x1x2，x2，是f(x)0的一个

10、根即是函数f(x)的一个零点(2)假设c，0，由0xc时，f(x)0，知f0，这与f0矛盾，c.又c，c.1已知非零向量a，b且ab，求证：.证明：abab0，要证，只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证2已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.解：(1)由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所