第五章二次曲线的一般理论

1、 第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类 5.1 二次曲线与直线的相关位置（） 一、预备知识1、 在平面上由所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、 关于虚点 平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数表示平面上一个点，如果中至少有一个是虚数，我们仍认为表示平面上一个点。 （一对共轭虚点的中点是实点）3、 记号 容易验证： 二次曲线的矩阵 的矩阵 例：写出下列二次曲线的矩阵 二、相关位置 二次曲线与过点 且具有方向的直线联立， 1、 方程有两个不等实根有两个不同的实交点 方程有两个相等实根有两个相互重合的实交点 方程有两个共轭虚根交于两个共轭的虚点 2、

2、 ，有唯一实根有唯一实交点 没有交点 直线全部在二次曲线上 eg1、试确定使直线与二次曲线交于两个不同实点，交于一点 注：平面直线方程： 5.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向 1、定义：满足叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向 渐近方向总有确定的点 2、按渐近方向分类 若 若 若则一定有此时 故 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 二次曲线有一个渐近的实方向 二次曲线有两个渐近的实方向 显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个 按渐近方向可分为三种类型 （1） 椭圆形曲线 （2） 抛物线曲线 （3） 双曲型曲线 二、二次曲线的中心与渐近线 定义：如果点是

3、二次曲线通过它的所有弦的中点，称点是二次曲线的中心 是二次曲线的中心 推论：是二次曲线的中心曲线方程不含的一次项 证：将直线方程代入，得： 由于是两交点的中心 由于为任意非渐近方向 （1） 若（2） 若二次曲线 定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。 Th1、二次曲线的渐近线与其二次曲线或者没有交点，或者整条直线在二次曲线上。判断二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线 线心曲线 线心曲线 5.5、二次曲线的主直径与主方向1、 主直径、主方向、轴、质点2、 二次曲线的特征方程 th1、一个方向成为二次曲线主方向的条件是 成立，其中是特征方程的根 证明：若二次

4、曲线为中心二次曲线 与共轭的直径为 则 若非中心二次曲线 任何直径方向总是唯一的渐近方向 而垂直于它的方向显然为 eg1、求的主方向与主直径解：曲线为中心曲线，特征方程为 由 确定的主方向为由 确定的主方向为 eg2、求的主方向与主直径5.6、二次曲线的化简与分类 一、平面直角坐标变换1、 移轴 为新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标2、 转轴 3、一般情形 4、 为了使新坐标系仍是右手系，使（1）式中的符号与（2）式中的符号相同 eg1、已知两垂直的直线 取轴，求坐标二、二次曲线的化简与分类1、 移轴，曲线方程系数的变化 二次项系数不变一次项系数变为常数项变为2、 转轴下，二次曲线系数的变化规律

5、 二次项系数要改变，但仅与原方程的二次项系数及旋转角有关 一次项系数一般要改变，但仅与原方程的一次项系数及旋转角有关 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程没有一次项时，通过转轴也不会完全产生一次项。常数项不变 通过转轴使新方程的，只须 几何意义：把坐标旋转到与二次曲线的主方向平行的位置 总结：通过转轴与移轴化简二次曲线方程实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置 因此，二次曲线的化简，只要先求出它的主直径，以其作为新坐标轴即可 如果是中心曲线，有且只有一对相互垂直从二又相互共轭的主直径，主直径的交点恰是曲线的中心，化简后，坐标原点与 中心重合 如果是无心曲线，只有

6、一条主直径，化简后，坐标原点与曲线的中心重合 如果是线心曲线，只有一条主直径，坐标原点与曲线的任何一个中心重合 若是中心曲线，选取新坐标系原点与曲线的中心重合，坐标轴与主直径重合（除圆外） 若是无心曲线，选取新坐标系原点与曲线的顶点重合，坐标轴与主直径重合eg1、化简二次曲线方程，并作出它的图形 ， ， 两个主方向 eg2、化简顶点 化简二次曲线 解： 曲线为非中心曲线，它的特征方程为特征根为 ：非渐近方向为：曲线的主直径为：曲线的顶点为：过点且与垂直的直线方程为取主直径为新坐标轴的轴，垂直与主直径且过点的直线为轴 变换公式为 代入已知方程得 特征方程： 化简 解： ， 曲线为中心曲线，特征方程为： th1、适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个 中心曲线：取它的一对即共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系 原点是曲线中心 坐标轴（主直径）的方向为：1：0与0：1 无心曲线：选取唯一的主直径为轴，而过顶点且以非渐近主方向为方向的直线为轴 主直径的共轭方向： 主直径方程为： 顶点与原点重合，（0，0）满足曲线 又 而 线心曲线：5.7应用不变量化简二次曲线方程 中心曲线 无心曲线 线心曲线 5.7、应用不变量化简二次曲线的方程 一、不变量与半不变量 三个不变