矩阵初等变换法解方程组教案

1、名师精编 优秀教案 矩阵第一章 引言矩阵是高等代数的主要研究对象之一，在数学科学、自然科学、工程技术仍至社会科学中都有着广泛的应用本章从解线性方程组的消元法入手，阐述矩阵的运算，可逆矩阵，初等矩阵，以及矩阵的分 块技巧1 消 元 法 教学目的 通过教学，使学生基本掌握解线性方程组的Gauss消元法，理解矩阵在解线性方程组等实践中的应用 教学内容 在中学数学里，同学们已经学习过二元、三元一次方程组的加减消元法，考虑其一般化，本节介绍解n元线性方程组的(Gauss)消元法 例引 例1 求下列线性方程组的解： 2x?x?3x?1?321? 4?5x4x?2x?321?2x?62x?13解 用消元法求

2、解，并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数表(矩阵)： 2?13113x?2x?x?321? 44x455x?42?2x?312?x6?2x?26022?13 得)?1)2?,(?(?2x?x?3x?1?2?113?312?2?x?4x?1240 ?32?x?x?5?5110?32 对换、的位置得1?2x?x3x?2?131?212?x?x5? 5?110?32?2?014?4x?x2?32对换、的位置得 2x?x?3x?1?1132?221?5?x?x ?1501?32?102?42?xx4?32 名师精编 优秀教案 (4)+得 2x?x?3x?1?12?13?312? ?5x?

3、x5?101?32?18?3x183?00?31得 ?312?13?12x?x?3x?312? 5?101x?x?5?32?6x?61?00?3x?6,x?1代入得最后，将代入，得；再将1x?6?x?2323因此，这个方程组的解为 6x?,x?1,x?9x?93112将例1的做法一般化，我们先来阐述 线性方程组的概念 n个未知量x,x,x的线性方程组的一般形式为 ?n12ax?ax?ax?b?11nn121112?ax?ax?ax?b?2212222n1n (1) ?ax?ax?ax?b?m2mn1nmm12aa?F,i = 1，2，m，j = 1，这里2属于某个数域F，即，n，ijij叫做方

4、程组(1)的系数；1，2，3，m，叫做(1)的常数项因?F,i?biF上的线性方程组叫做数域 此，(1)由(1)得到矩形数表 aaaabaa?121n11111n121?abaaaaa?22222n22n2121 ，?AA?aaaaaab?1mm2mnmn2m1mm 增广矩阵叫做的其中A叫做(1)系数矩阵，(1)的A000 中的未知量依次代替若用F中的一组数(1)xx,x?,xx,1n221的，使(1)的每个方程都变成恒等式，则称这一组数为方程组(1)x?,n一个解若(1)有一个解，则称它是一个相容方程组；否则，称之为不相容方程组 由例1可见，为了求得线性方程组(1)的解，或判别它不相容，往往

5、要对(1)作如下三种变换： 1)倍法变换 用一个非零的数 个方程；i乘第F?k名师精编 优秀教案 2)消法变换 用一个数乘第i个方程后加到第j个方程； Fc?3)互换变换 交换第i个、第j个方程的位置 这三种变换叫做线性方程组的初等变换 显然，若对(1)作一次初等变换将它变为 ?a?aax?bx?x? ?1121n1n112?a?abx?axx? ?21n2212n22 ， (2) ?abxa?x?ax? ?mnm2m21mn1000则(1)的任一个解是(2)的一个解由于初等变换是可逆x,xx,?,12n的例如，若用消法变换2)将(1)变为(2)；可用数乘(2)的第iF?(?c)个方程后加到第

6、j个方程，则(2)变为(1)倍法变换、互换变换情形类000似可见于是，(2)的任一个解，也是(1)的解因此，(1)y?,y,y,12n与(2)有相同的解集，即(1)与(2)同解 这样，我们得到 定理1.1.1 若线性方程组(1)经过有限次初等变换化为线性方程组(2)，则(1)与(2)有相同的解集，即它们同解 ? 3 化为阶梯形 ?1由定理1.1.1，在线性方程组(1)中可不妨假设.于是，用a0?a1111乘(1)的第一个方程，并分别用()乘第一个方程倍法变换后得到的a1i方程，再加到第i个方程，则得 ?x?ax?bx?a ?12n1211n?a?abxx? ?2nk2k2n ， (3) ?ax

7、?x?ab ?mkmnnkm?，并用类似的程序可将(3)化为 其中k1同上，可不妨设a?02k?x?aax?x?b? ?12n111n2?b?axx?ax?2k?1k?12nn2k?， (4) ab?xax?33n3lnl?ax?x?ab?mlmnlmnlk 其中1只要可能，我们就继续使用上述程序但是，由于未知量个数n的 限制这样的程序是有限的于是，继续使用上述程序，最后得到名师精编 优秀教案 x?cx?cx?d?111n12n2?x?cx?cx?d?k2k?1k?12nn2?x?cx?cx?d?31lnn3l?13l?， (5) ?x?cx?cx?d?sn?1sn?rsr1r0?d?1?s?

8、0?d?m其中1klr n，且可能出现r = m的情形 形如(5)所示的线性方程组叫做阶梯形方程组，其增广矩阵是一个阶梯形矩阵 因此，我们得到 定理1.1.2 数域F上的每一个线性方程组都可以通过初等变换化为与它同解的阶梯形线性方程组 ? 不难看出这样的化简程序只须对其增广矩阵作相应的行的初等变换 4 线性方程组解的讨论 现在，线性方程组(1)与(5)同解，借助于(5)我们来分析(1)的解的情况： 1)若不全为零，则(1)无解 dd,d,?ms?2s?12)若，且r = n，1，k，l，r是连续的0?dd?d?m2s?s?1自然数序列，则(1)有唯一解 3)若，且rn，或1，k，l,，r不是连

9、0d?d?d?m2s?s?1续的自然数序列，则(1)有无穷多个解这时, x,x,?12?k可以取数域F上的任意数，称它们x,x,x,?,x?,x,x,?nr?k111?1l?1rl?为自由未知量 因此，在这里说解方程组，首先是判定方程组是否有解；若有解，进而求出它的所有解(称之为一般解) 例2 解线性方程组 x?3x?6x?5x?0?4123? 12x?2x?x?4x?4123?5x?x?2x?x?7?4213解 对这个方程组的增广矩阵进行行的初等变换： ?5?21?3?6501?3?650? 1?1220716?21421?7?2432014?115?27?名师精编 优秀教案 501?3?6

10、? 116?12?07?50000?因此，这个线性方程组无解 例3 若例2中第3个方程的常数项“7”用“2”更换，求更换后线性方程组的解 解 这个方程组的增广矩阵 1?3?6501?3?650?行初等变换 211716?1221?04?0000125?120?x,x为自由未知量，于是，更换后的方程组有无穷多个解，取则得方43程组的解为 36111612,其中a,bF. b,x?a?b，x?a?b,xa?x43217777772 矩阵的运算 2.1 矩阵的实例和记号 在1中，我们已感受到矩阵在线性方程组求解时的用处，在许多实际问题的数学描述时，也要用到矩阵，这里介绍几个简单的例子. 例1(通路矩

11、阵) a省两个城市，和b省三个城市，bbaab13212的交通联结情况如图11所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数由该图提供的通路信息，可用如下矩阵C表示(称之为 ，以便存贮、计算与利用这些信息这里通路矩阵通路矩阵) b 4 1 a 1 1b 3 2 a2 1b 32 图11 cba间的通b省的城市，而与表示a的行表示省的城市，列表示jiji路数 工厂中常用管道联结各种设备，也可用矩阵来表明各设备间的连通情况 例2(价格矩阵) 四种食品在三家商店中，单位量的售价(以某货币 可用以下矩阵给出：)单位计名师精编 优秀教案 FFFF42132111S717?1 ，?S9191315?2

12、?S1881519?3这里的行表示商店，而列为食品，例如第2列就是第2种食品，其3个分量表示该食品在3家商店中的3个售价 涉及到两个集合(上面分别是a省城市与b省城市，食品与商店)，且其元素间由某数(上面分别是通路数目，价格)将它们联系，常会出现这样的矩阵 例3(原子矩阵) 在复杂化学反应系统中，涉及到众多的化学物为了定量地研究反应、平衡等问题，可引进表示这种系统的原子矩阵例如在合成氨生产的甲烷与水蒸气生成合成气的阶段，系统内除一些惰性气体外，还存在以下7种化学物：，COHHCHO224，这时可写出原子矩阵： CHCCO622CHHOHCOCOCCH6222241001112?C? 64020

13、20?H?0101020?O例4(赢得矩阵) 一个称为对策论或竞赛论的数学分支，是研究社会现象的一个应用数学分支我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题，故事说战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者一百金已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列6种策略（方案）之一： （上，中，下），（中，上，下），（下，中，上）， （上，下，中），（中，下，上），（下，上，中） 若将这6种策略依次从1到6编号，则可写出齐王的赢得矩阵 田略 忌 策31111?1?齐?111?311?王1131?11 P?1311?11策?1311?11略?3?11111? 例如，这里，即以下、中、上顺序3，意即齐王采用策略1p?32名师精编 优秀教案 出马，而田忌采用策略2，即以中、上、下顺序出马，则比赛结束时齐王的净赢得数为100金 综上，一般地，设F是一个数域，由F上的mn个数组成的m行、n列矩形元素表 aaa?n11112?aaa?n22221 (1) ?A?aaa?mnm2m1叫做F上的一个mn矩阵，其中，i=1，2，m，j=1，2，F?aija是A的第i，j是列下标，因而也称An，叫做的元素；i是行下