高等数学：第3节全微分

1、第三节 全微分及应用,一元函数 y = f (x) 的增量概念：,考虑二元函数 z = f ( x , y ),关于 x 的偏增量,关于 y 的偏增量,全增量,一元函数 y = f (x) 的微分概念：,若函数的增量：,能表示为：,则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称,为函数的微分,当,例如：,存在时，,考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：,当两边长分别取得增量 和 时的改变量,第一部分,是 的线性函数,第二部分,定义 ：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量,可以表示为,其中 A 、B 与 x , y 无关 ( 仅与 x , y 有关 ),则称 z =

2、f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微，,并称 A x + B y 为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ),处的全微分，记作 d z 或,证明：,问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？,问题2：在可微的条件下，A = ？，B = ？,如果 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y )可微，,必存在，,证明：,因为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微，故,且 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处的微分可表示为,定理1（必要条件）,则函数在该点 ( x , y ) 处的

3、两个一阶偏导数,（1）令 ，得,（2）令 ，同理得：,所以，当函数可微时，全微分可写成,若分别取 z = x 和 z = y ，则,记,分别称为 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处对 x 和 y 的偏微分。,叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。,叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。,如设 u = f ( x , y , z ) 则有,几点说明：,（2）对于多元函数，可微一定连续，,（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，,问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？,例1,但 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不

4、可微。,证明：,证明：,用反证法证明函数在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。,如果 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必有,由定理1,即有,因此必有,但当,即有,与k有关,矛盾！,所以函数在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。,上述例子有两个重要性,（1）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏 导数存在，也不能保证函数在该点可微。,（2）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。,定理2（可微的充分条件）: 如果 z = f ( x , y ) 的偏导数,在点 ( x , y ) 的某邻域内连续，则 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微。,问题1：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,偏导数存在,例2：计算,解：,在点 ( 2 , 1 ) 处的全微分。,全微分的计算,当函数可微时，全微分可表示为,所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。,例3：计算函数 的全微分,解：,解,解答,思考题：若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义,若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必有,若 f ( x , y ) 在点