均值不等式及其运用

1、均值不等式及其运用教学目标1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 教学重点:会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。命题趋势:高考考察的重点内容之一,题型多种多样,涉及面广,经常有综合性强难度较大的题目出现.学情分析:在不等式的基础上学习本节,比较好理解掌握.高考再现:(见后)教学过程:知识点一：2个重要不等式1重要不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2基本不等式：

2、 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.注意：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。（3）可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们

3、用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2. 代数法，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.注意：1. 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个

4、正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.经典例题透析类型一：基本不等式的理解1.，给出下列推导，其中正确的有_（填序号）.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【答案】（1）；（2）（1），（当且仅当时取等号）.（2），（当且仅当时取等号）.（3）， （当且仅当即时取等号） ，与矛盾，上式不能取等号，即【变式1】下列命题正确的是（ ）A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2C.函数最大值为D.函数 的最小值为2【答案】C解析：A选项中，当时由基本不等式；

5、 当时.选项A错误. B选项中，的最小值为2 （当且仅当时，成立） 但是，这是不可能的. 选项B错误. C选项中，故选项C正确。均值不等式及其运用(二)主备人:韩玉杰 记录人:薛彦合 2011.10教学目标1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 教学重点:会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。命题趋势:高考考察的重点内容之一,题型多种多样,涉及面广,经常有综合性强难度较大的题

6、目出现.学情分析:在不等式的基础上学习本节,比较好理解掌握.高考再现:(见后)教学过程:知识点一：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。知识点二：几个常见的不等式1），当且仅当a=b时取“=”号。2），当且仅当a=b 时取“=”号。3）；特别地：；4） 5）；6）；7）规律方法指导1两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数。如是成立的，而是不成立的。2

7、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解。 当a=b取等号，其含义是； 仅当a=b取等号，其含义是。 综合上述两条，a=b是的充要条件。3基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。4利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： 各项都是正数；和（或积）为定值；各项能取得相等的值。5基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： 先理解题

8、意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.类型一：利用基本不等式求最值1. 若,求的最小值。思路点拨: 和是应用基本不等式的两个前提条件；解析：因为，由基本不等式得（当且仅当即时，取等号）故当时, 取最小值.总结升华：1. 形如（，）的函数的最值可以用基本不等式求最值2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.举一反三：【变式1】若,求的最大值.【答案】因为,所以, 由基本不等式得:,（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.【变

9、式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？【答案】，（当且仅当即时，取等号）故当时，的值最小为18.【变式3】求函数()的最小值.【答案】，（当且仅当即时，取等号）故当时，函数()的最小值为32.【变式4】已知，求的最大值.【答案】，（当且仅当，即时，等号成立）（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4. 2.已知（1）若,求的最小值；（2）若,求的最大值。解析：（1）方法一：且, ，即（当且仅当时取等号） ，的最小值为4.方法二：且,，即（当且仅当时取等号），的最小值为4.（2）方法一：，即（当且仅当时取等号），的最大值为4.方法二：，（当且仅当时取等号），的最大值为4.方

10、法三：， （当且仅当时取等号），的最大值为4.总结升华：1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.举一反三：【变式1】已知，求的最小值.【答案】，由（等号当且仅当时成立）故当时，的最小值为6.【变式2】已知，求的最大值.【答案】解法一：， （当且仅当即时，等号成立） 故当时，的最大值为16.解法二：， 即，可得，（当且仅当时，等号成立） 故当时，的最大值为16.【变式3】若实数满足则的最小值是_.【答案】，即的最小值是6.3. 已知x0，y0，且，求x+y的最小

11、值。思路点拨: 巧用中的“1”，为应用基本不等式创造条件。解析：方法一：， x0，y0， （当且仅当，即y=3x时，取等号） 又，x=4，y=12 当x=4，y=12时，x+y取最小值16。方法二：由，得 x0，y0，y9 y9，y90， （当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4） 当x=4，y=12时，x+y取最小值16。举一反三：【变式1】若,且,求的最小值 .【答案】,， （当且仅当即，时，等号成立） （当且仅当，时，等号成立） 故当，时，的最小值为64.【变式2】若,且,求的最小值 .【答案】,， （当且仅当时，取等号） 故当，时，的最小值为16.类型二：利用基本不等式证明不等式4

12、. 已知,求证。思路点拨:因为,所以可把和分别看作基本不等式中的和,直接利用基本不等式。解析：因为,所以，（当且仅当，即时，取等号）总结升华：前提条件：和=144（定值）.举一反三：【变式1】已知，求证:【答案】（当且仅当即,等号成立）.【变式2】已知、都是正数，求证：。【答案】、都是正数 ，（当且仅当即时,等号成立）故.5. 已知、都是正数，求证：思路点拨:选择（，）灵活变形，可求得结果.解析：、都是正数 （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）即.总结升华： 1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须

13、都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式，以便于利用基本不等式。举一反三：【变式1】证明： 【答案】方法一：，（当且仅当，时，取等号）（当且仅当时，取等号）；方法二：（当且仅当，时，取等号）.【变式2】已知、都是正数，求证：.【答案】、都是正数， （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） 即.类型三：基本不等式在实际问题中的应用7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是

14、等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?解析：由题意可得，。于是，框架用料长度为。当，即时等号成立。此时，。故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省。总结升华：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名

15、学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元， 则（当且仅当x=8时取“=”） 此时每人最少交80元.【变式2】某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ 【答案】显然，使旧墙全部得到利

16、用，并把圈门留在新墙处为好。 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为， 于是还需要建造新墙的长为 设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元， 则 （当且仅当即时，等号成立） 故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.课后习题1. 已知a，b都是正数，则 、的大小关系是 。2.已知则mn的最小值是 3.已知：， 则 的最大值是4 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处5.已知正数满足，则的范围是 。6. 给

17、出下列命题：a,b都为正数时,不等式a+b2才成立。y=x+的最小值为2。y=sinx+()的最小值为2.当x0时，y=x2+16x2,当x216x时，即x=16,y取最小值512。其中错误的命题是 。7.已知正数满足,求的最小值有如下解法：解：且. . 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法8.已知，且a0，b0,求a+b最小值。9.已知x0，函数y23x有值是.10设，则函数的最小值是 。11.函数的值域是 。7.已知a、b是正数，且1(x，yR，求证：xy()2.12某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：（1）仓库面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 13、若实数x，y满足，求xy的最大值14、若x0,求的最小值;