数学思想方法同步讲座第1讲函数方程是一类新题

1、数学思想方法同步讲坐 第1讲 函数方程是一类新题在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！从内容上看，在“函数考章”中有5个考点：（1）映射. 函数. 函数的单调性、奇偶性.（2）反函数.互为反函数的函数图像间的关系. （3）指数概念的扩充. 有理指数幂的运算性质. 指数函数. （4）对数. 对数的运算性质. 对数函数. （5）函数的应用.从题型上看，常规分类是：选择题，填空题，解答题三类. 也不见函数方程的题型. 经常提到的数学思想：（1）函数方程思想，（2）数形结合思想，（3）分类讨论思想，（4）化归与转化思想等等，高考命题难道可按数学思想分类？存在决定意识. 高考试题的客观存在，决定

2、了人们在试题分类上认识的深化. 【例1】 （2006年陕西卷12）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 （ ）A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7【分析】 这是个什么问题？人们往往用“新题型”三字将其归类，或说详细点，这是一种“信息加密问题”有的还很满足这种分类. 殊不知,这种归类是一种“情境归类”或“形式分类”，没有

3、归类到“数学内容”或“数学思想”的实质与高度上来.从数学的角度审视“信息加密”，这是一个从集合A（明文）到集合B（密文）的映射问题. 因为集合A、B都是数集，所以加密问题是个“函数问题”，解密问题是对应的“反函数问题”.【解析】本题是信息安全与密码问题. 欲求明文a，b，c，d，需建立关于a，b，c，d的四个方程.由于收到的密文是14，9，23，28时，由加密规则可得方程组，解得，此即为解密得到的明文，故选C【点评】 本题在考函数，在考哪一个具体函数？本题在考方程，在考哪一个具体方程？都不“具体”，本题是在考一种数学思想.所谓“函数方程思想”，就是函数与方程的“统一思想” .本题中，加密是“函

4、数建模”，解密是“函数还原”，前者是明文到密文的函数式，后者是密文到明文的方程（组）. 初看解析，这似乎是一个单一的“方程问题”.那么试问：如果没有（背后的）函数，方程从何而来？如果把“函数问题”看作原问题，那么“方程问题”则为原问题的逆问题. 如果函数与反函数是一个问题的两个方面，那么函数与方程这两个方面也统一在同一个整体之中.【链接】 为了看清方程与函数的“平等地位”，我们可以从“加密函数式”中解出它的反函数式，即得“解密函数式”：（） （） 当密文为=14，=9，=23，=28时，利用函数式（），可直接求得明文为a=6，b=4，c=1，d=7.事实上，信息安全部门在制作“密码本”时，“加

5、密本”与“解密本”是同时“出版”的. 说明了，这里的工作是把“函数问题”与“方程问题”视作对立的、一体的.【启示】 高考命题，为什么“逆向问题”那么多？总在要你去待定、去假设、去探求？因为命题人考虑到， 顺向考查只是一个单向，而逆向则是双向考查. 这就是高考命题“热中逆向问题”的原因.逆向问题虽应从方程角度思考，但如果离开了正向的函数问题，则这个方程是盲目的、缺乏思想高度的. 正是在这一点上,须要研究“函数方程的互逆性和统一性”.【例2】 （2007年安徽21）某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个

6、公差为的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，以Tn表示到第年末所累计的储备金总额（）写出Tn与的递推关系式；（）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列【分析】Tn与都是数的集合，找它们的关系就是找函数关系，因此本题是一个求函数式的问题.函数式是一个等式，求等式就是“布列方程”，因此求函数式是一个列方程的过程. 【解析】 第年末所累计的储备金总额 = 上年末储备金总额的（1+r）倍 + 当年交纳的储备金用符号表示就是：这就是所求的Tn与的递推关系式【点评】

7、本题是用“布列方程求函数式”的典型. 第一步，用Tn 1作“未知数”；第二步，用含未知数Tn 1的代数式来表示其他“未知量”：Tn 1(1+r)+an；第三步，用列代数式时没有用过的等量关系组织等式：. 这个等式就是所求的方程，即本题所求的函数式. 【分析】的意思是，数列Tn可写成数列An与数列An的和. 为此可考虑先求出数列Tn的通项公式.【解析】 由递推式T1=a1，Tn= Tn 1(1+r)+an得关于T1，T2，Tn的n元方程组：消T1，得T2= a1 (1+r)+a2；消T2，得T3= a1 (1+r)2+a2 (1+r)+a3；消Tn 1，得Tn= a1 (1+r)n 1 +a2

8、(1+r) n 2 +an 1 (1+r)+an.【插话】T1，T2，Tn 1 已全部消去，Tn已经求出. 以下只是一个对Tn表达式化简的问题. 仍可按“函数方程问题”来处理.【续解】 将上面Tn的表达式看作方程，将方程两边同乘以(1+r)得新方程，两方程联立 （2）（1）得rTn = a1(1+r)n+(a2+a1) (1+r)n 1 +(an a n 1 )(1+r) an= a1(1+r)n+ d(1+r)n 1+(1+r)n 2 +(1+r) an即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列【点评】本题的第（）问是布列方程的问题，第（）问是方程组求解的问

9、题.把函数式Tn= Tn 1(1+r)+an看作含T1、T2、Tn的n方程组，并用消元法从中解出Tn，是函数与方程的精彩转换.【小结】 本题的知识载体是“特殊的”数列内容：等差数列与等比数列、由数列的递推式求数列的通项公式等等. 本题的思想则是“普遍的”函数方程思想. 本题以函数设问，用方程作答，函数与方程的视角随机换位，按其所需. 【例3】（2007年重庆卷第22题）如图1，（）（求得）椭圆的方程.（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明图1为定值，并求此定值.【说明】 心里有什么，眼里就看到什么！对于本题心里有函数的人，首先看到了函数：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角=xFP1的函数.

10、心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cos= x c ( x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系.【解析】设（自变量）xFP1=，于是有 xFP2 =，xFP3 =.设|FP1| = r1，由图2可得|FM| = r1cos，由e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程）：r1cos+2r1 = 12 3 = 9，从而有（函数）：r =，继而有（方程）：图2同理有 于是有（函数方程的统一体）：=【小结】所谓“函数方程的普遍性”是指，当知识载体如本题的椭圆载体一旦更换（成了例1的信息加密、例2的数列推递）之后，只要还

11、是关于数集与数集、变量与变量间的“关系问题”，无不是函数方程的领域. 显然，函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、带全局性的数学思想. 因此，高考中的“函数方程考题”是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题.对应训练1. 已知，（a、b、cR），则有（ ）(A) (B) (C) (D) ，2. 二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）.3. 已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=,sin(A-B)=.()求tanA=2tanB;()设AB=3，求AB边上的高.对应答案1. 解析 法一：依题设有 a5bc0是实系数一元二次方程的一个实根；0 故选(B)法二：去分

12、母，移项，两边平方得：10ac25ac20ac， 故选(B)点评 解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成.2. 本题考查二项展开式的通项公式和幂运算.解题的切入点是正确写出通项公式，并正确化简.根据二项展开式的通项公式Tr+1=C得Tr+1=C=C =CC=(-1)rC要使Tr+1为常数项，只需(-1)rC中x的指数为0，即=0，解得r=4,代回通项公式，得常数项为 （-1）4C在解答过程中正确运用二项展开式得通项公式是解题的关键，而通过方程=0得出r=4，则可得到常数项在展开式中的位置，进

13、而求出常数项.3. 分析 本题是一个三角函数的证明与计算问题.分析题目后发现,已知条件比较复杂,因此首要的任务是变换已知条件,使之出现含有sinA,cosA,sinB,cosB的解析式.解析 由已知两个等式,得sinAcosB+cosAsinB=,sinAcosB-cosAsinB=.研究这两个等式发现,左侧的两个解析式只相差一个符号.实际上,可把sinAcosB看成一个未知数,把cosAsinB看成另一个未知数,于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组,解这个方程组便可求出sinAcosB=到此便可以完成第()问的证明,将上两式左右两边分别相除,便可得到tanAcotB=2,即tanA=2tanB.在第()问中,可画出图形帮助我们进行研究,如右图,从图中并借助已知条件不难发现,应该先求出tanA和tanB的值.由sin(A+B)=及A+B,可求得tan(A+B)=-,展开后得为求出tanA和tanB的值,还应再有一个关于tanA、tanB的方程，这个方程正是第（）问所证的结论：tanA=2tanB.解由这两个方程组成的方程组，求得下面再解直角三角形，求CD就容易了.由AB=3可解得CD