概率论 第三版 龙永红概率辅导2

1、2随机变量及其分布21基本要求随机变量的引入在概率论发展史中意义十分重大，这一概念的引入使得试验结果数量化了。因此，随机变量与它的分布是概率统计讨论的核心内容。1理解随机变量及其概率分布的概念。2理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。3理解离散型随机变量及其概率分布的概念，侧重把握它的分布律（列）及其性质，其中，从实际问题出发建立分布律是学习中的难点。在众多的离散型分布中，重点是掌握两点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布及其应用。4了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。5理解连续型随机变量的概念，重点是把握它的概率密度及其性质，并能深入掌握均匀分

2、布、指数分布、正态分布与它们的特征，会用这些分布解决一些简单的问题。6熟练掌握分布函数与分布律、概率密度的互求，这既是难点也是应用中的重点。7会根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。22内容提要221随机变量与它的分布函数1随机变量的概念随机变量x是定义在样本空间W上的实值集函数，它具有取值的不确定性(随机性)和取值范围及相应概率的确定性(统计规律性)两大特征。特别是后一特征表明，对于任意实数x，事件xx都有确定的概率。常用的随机变量按取值方式可分为离散型和连续型两类。2分布函数与它的基本性质对于随机变量x 以及任意实数x，称一元函数 F(x)=Pxx 为x的分布函数。由此可见，分布函数

3、是定义域为、值域为0，1的实函数。其基本性质是：(1) ，对一切成立；(2)F(x)是一个单调不减函数，即当时，有 ；(3)F(x)是右连续的，即F(x +0)=F(x)；(4)。反之，具有这四条性质的函数一定是某个随机变量的分布函数。若F(x)为随机变量x的分布函数，则对于任意的a，b(aa时，。则称服从以n，N，M为参数的超几何分布。简记为。注：若n 是一取定的自然数，且，则有。即当N充分大时，随机变量就近似服从二项分布B(n,p)。（4）泊松分布若随机变量有分布律为常数则称服从参数为的泊松分布，简记为。注：泊松分布的背景是与泊松定理分不开的，即设0是一常数，n 是任意正整数，设，则对于任

4、一固定的非负整数k，有 。故当n很大，p很小时(np10)的二项分布可用下式近似计算：由此发现，在大量试验中稀有事件出现的次数常可用泊松分布来描述。3分布律与分布函数的计算（1）分布律已知时分布函数的求解当分布律给定时，运用逐段求和可求得分布函数，即 。可见，离散型场合下的分布函数是一个右连续的分段阶梯函数，在处有跳跃。（2）分布函数已知时分布律的求解当分布函数已知时，通过逐段求差可求得分布律。随机变量的取值即为分布函数的间断点，而取值的概率由下式给出： 综上所述，离散型随机变量的分布律和分布函数可以相互唯一确定。223连续型随机变量及其概率密度1概率密度与它的基本性质设对于随机变量x的分布函

5、数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)， 使得对任意的实数x，都有 成立,则称x为连续型随机变量，f(x)便是x的概率密度（或分布密度）。概率密度具有如下基本性质：(1) (非负性)；(2) (规范性)；(3)对任何实数c，有；对任意的实数a，b(aa为常数。则称服从区间(a, b)上的均匀分布，简记为。均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。（2）指数分布若随机变量的概率密度为 其中0为常数，则称服从参数为的指数分布，简记为。服从指数分布的随机变量具有“无记忆性”，即对任意的s,t0，有 （3）分布设随机变量有概率密度 其中0, 0为常数。则称服从参数为，的分布，简记为。这里是以(0)为参

6、变量的函数。值得一提的是，G函数以及与此有关的若干个积分，例如，等，在某些连续型随机变量概率计算中化繁为简的作用非常突出。一般情况下，凡是被积函数是幂函数与指数函数的乘积，而积分区间是(0，)或者可以转化为(0，)的情形，运用G函数完成计算特别方便。（4）正态分布设随机变量有概率密度 其中，为常数。则称服从参数为，的正态分布，简记为 。特别，当=0，=1时，有 。此时称服从标准正态分布。简记为N(0，1)。 3概率密度与分布函数的互求当概率密度给定时，运用逐段积分可求得分布函数。即 ，如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。反之，当分布函数已知时，在f(x)的连续点上运用逐段微分可求

7、得概率密度。即 。可见，连续型随机变量的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。224给定分布时的概率计算小结(1)分布律已知时的概率计算公式是 。(2)概率密度已知时的概率计算公式是 。(3)分布函数已知时的概率计算公式是 。(4)正态分布下的概率计算公式是 ， 其中rvx；F(x)为标准正态分布函数。当x0时其数值可查标准正态分布函数数值表(以下简称正态分布表)直接得到；对于负实数x，在公式F(x)=1-F(-x)转化下，仍可查表求值。225随机变量函数的分布随机变量x的函数在一定条件下仍是随机变量。h的分布可由x的已知分布确定。但在求h的分布具体处理方法上，离散型和连续型是有区别的。1离散

8、型随机变量x的函数分布设x为一离散型随机变量，其分布律为x1x2xnpip1p2pn则当诸的值互异时，h的分布律为pip1p2pn 如果中有某些值相同时，则将相应概率相加之后予以合并处理，必要时重新排序后写出h的分布律。可见，在离散型场合下，h的分布律完全由x的分布律确定。2连续型随机变量x的函数分布设x为连续型随机变量，其概率密度为，则仍为连续型随机变量，其概率密度的计算步骤为：(1) 根据x的概率密度，求出的分布函数 其中，(2) 对求导得的概率密度在函数可导且严格单调时，的概率密度为 ，其中是严格单调可微函数(与对应的普通函数)的反函数。至于的取值范围，原则上将由中x的取值范围及中的的允

9、许范围讨论确定。可见，连续型场合下，的概率密度完全由x的概率密度确定。23典型例题分析例1有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取4个球，求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数的分布律。解： 设A=甲袋中取出的一球为黑球，Bi= 从乙袋中取出的四球中有i个黑球，则 由全概公式可得类似可得 。故的分布律为0123注: 从求解中看到，求分布律的过程实际上是求一系列随机事件的概率，所以随机变量这一概念远比随机事件广泛而深刻。例2 假设某射击运动员，其射击的命中率为0.7。试求：(1)该运动员进行1次射击，命中次数的分布律；(2)该运动员进行4次射击，

10、命中次数的分布律；(3)顶多射击4次且命中即停止射击，该运动员停止射击时，射击次数的分布律。解： (1)记射击1次时的命中次数为随机变量x。于是，x服从p=0.7的两点分布。另记命中与“1”对应，不命中与“0”对应，故有rvxB(1，0.7)，即所求的分布律为 。(2)记射击4次的命中次数为随机变量h。于是，h服从n=4、p=0.7的二项分布，即rvhB(4，0.7)，故其分布律为 (3)记停止射击时射击次数为随机变量z，其可能取值为1，2，3，4。如果停止射击发生在前3次中的某一次，则射击次数的概率为 ，停止射击发生在第4次射击，则情况有所不同：可以是第4次命中而停止射击；也可以是第4次射击

11、未命中但由于顶多射击4次而停止射击。故此时射击次数的概率为 。综上，停止射击时射击次数的分布律为1234pi0.70.210.0630.027 注： 这是一个识别分布类型的基础性训练题，尤其（3）不要与几何分布混淆。求解这类题，建立满足题设要求的分布律，有以下三个步骤：1)明确题设中试验的意义及相应随机变量所有可能取值；2)逐一求出随机变量每个可能取值的概率；3)检验概率和为1之后，按规范形式写出分布律。例3 设服从 Poisson 分布，且已知，求。解 由 P=1=P=2,即得解出，但应是正数，故舍去，取，故 。例4 某商店出售某种商品,据历史记载分析,月销售量服从泊松分布，参数为5，问在月

12、初进货时至少要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率满足顾客的需要。解： 设 表示商品的月销售量，则由服从参数为5的泊松分布，其概率分布为 由题意，应确定 m 使得 ，即 ，查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初进货时，至少要库存13件此种商品。注: 这类题目涉及到管理、营销等方面的优化对策问题，是来自实际的问题。而且贯穿其中的解题思路很有代表性，有较高的应用价值。例5 一批产品中有15%的次品，现进行独立重复抽样检查，共抽取20个样品，问抽出的20个样品中最大可能的次品数是多少？并求其概率。分析：设抽出的20个样品中次品数为，则有。问题是当k多大时，最大。设时最大，则有 。

13、解：考虑与的比故当且仅当。同理，当且仅当。因此，当最大时，k只能取3，且注：一般，若，则当(n+1)p不是整数时，k=(n+1)p时，最大；则当(n+1)p是整数时，k= (n+1)p或k= (n+1)p-1时，最大。对泊松分布有类似的结论。若，则当不是整数时，当时，最大；当是整数时，当或时，取得最大值。例6 设在6只零件中有4只是正品，从中抽取4次，每次任取1只，以表示取出正品的只数，分别在有放回、不放回抽样下。（1）求的分布律，（2）求的分布函数并画出图形。解：（1）在有放回抽样下，服从 为参数的二项分布，其分布律为。01234在不放回抽样下，服从 为参数的超几何分布，其分布列为。234(

14、2)离散型场合下，求分布函数是按公式 对x的不同取值实施逐段求和。于是，先就不放回抽取进行逐段讨论。当x2时，有 ；当2x3时，有 ；当3x4时，有 ；当x4时，有 。综合逐段求和的结果，有 其直观形象由图2-1所示。求分布函数的逐段求和，实际上就是在x由小到大的排序下，相应分布函数的取值从0开始逐段将概率累加即可。例如，放回抽取下的分布函数可按如下方法求解：其直观形象由图2-2所示。 图2-1 图2-2注: 离散型场合下分布函数的求法，本题给出两种具体方案：不放回抽取下写出了逐段求和的全过程；放回抽取下只是给出了求和的结果。前者思路清晰，便于理解，但书写繁琐；后者书写简便。如果读者确实对逐段

15、求和的求解思路是清楚的，那么，具体解题时可采用书写简便的后一种解法。分布函数的定义域是(),因而只有就整个实数范围给出的表达式才是完整答案。离散型场合下，分布函数的图象是位于实数轴上方的阶梯曲线，左右两侧应该延伸至无穷。因此，如果只从某一点开始沿实数轴向右给出图示是错误的。此外，作为分布函数F(x)的分段区间必为左闭右开。理由请读者思考。例7 已知离散型随机变量x有分布函数 试求：(1) x的分布律；(2) (用两种方法)。解：(1) 已知分布函数求分布律是按公式 依据逐段求差的思路进行的，注意到分布函数F(x)的间断点即为随机变量的取值。于是有 , , 。故有 -1230.30.20.5(2

16、) 或 。例8 确定下列函数中的待定系数a，使它们成为概率密度，并求它们的分布函数。（1），（2） 。解：（1）。因分布函数是定义在全体实数上的，而概率密度函数是分段定义的，故分布函数的求解要分段讨论。当时，f(x)=0，所以。当时，当时，综上有（2）。类似（1）的分段讨论可得注: 确定随机变量的概率密度f(x)中的参数时，一般用性质来求解；此外，连续型场合下分布函数是以概率密度f(x)为被积函数的变上限的广义积分。与离散型场合不同的是，它是自变量x的连续函数，其图象是位于实数轴上方介于0,1之间的连续曲线。由概率密度f(x)求分布函数时，由于概率密度常常是分段给出的，故分布函数的计算也要分段

17、讨论计算。例9设随机变量的概率密度为,且是随机变量的分布函数,则对任意实数a 有 ,试证之。分析：因题中不涉及具体函数，故证明要用分布函数的定义来讨论。证： 有 ，所以 。例10 设连续型随机变量的分布函数为求：（1）A，B的值；（2）的概率密度；（3）。解： （1）由连续型随机变量的性质可知，F(x)是连续的函数。考虑F(x)在x=0，x=1两点的连续性，有, 因此A=B （1）又 , 可知B=1-A （2）由（1），（2）两式，得。于是，得（2）的概率密度为（3）或 注：确定连续型随机变量的分布函数中的常数，一般可用分布函数的性质及其连续性。*例11 设k在(0,5)上服从均匀分布，求方程

18、有实根的概率。解： 依题意得k的分布函数为：又，方程有实根的条件是：即解得或，因不在区间（0，5）上，故舍去，最后得。因此，所求概率为.例12 已知随机变量x有分布律x-2 0 1 2 5pi0.3 0.2 0.25 0.1 0.15试求：的分布律。解： 用对应列表的思路，先给出辅助表格，再据此重新排序后直接写出分布律。x-2 0 1 2 55 1 2 5 268 2 -1 -4 -13pi0.3 0.2 0.25 0.1 0.15于是与的分布律分别为：-13-4-128pi0.150.10.250.20.3 12526pi0.20.250.40.15*例13 在电源电压不超过200V，在20

19、0240V和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和0.2。假设电源电压服从正态分布N(220, 252)，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率.解：引进下列事件：A1=电压不超过200V，A2=电压在200V240V，A3=电压超过240V，B=电子元件损坏。由于N(220, 252)，因此由题设知 P(B|A1)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(B|A3)=0.2。（1）由全概率公式 注：本例为正态分布与古典概率相结合的问题。利用全概公式和贝叶斯公式是解决问题的关键，一定要找全“原因”及“结果

20、”。例14 某学校拟招生155人，按考试成绩录取。现有526名学生报名，其考试成绩，已知90分以上有12人，60分以下有83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否录取？分析：本题首先应根据条件求出正态分布的两个参数，其次求出录取分数线或该生的排名即可解决问题。解： 根据题设条件有：，从而故 =0.9772反查标准正态分布表可得： （1）同样，根据题设条件有：，同上可得1时，所以 故 最后得 （3），y=|x|，不是x的严格单调函数，故不能直接引用定理求解。与（2）一样用分布函数法分段讨论求解。当，y0，此时 故 当y19.6出现的次数，服从参数为n=100, p=0.05的二

21、项分布，所求概率由，泊松定理，近似服从参数为=np=1000.05=5的泊松分布，从而注：该例为一个综合应用题，第二步的计算也可用中心极限定理，但由于这里p10=1-P10=1-F(10)因表示一个月他未等到服务而离开的次数，故取值为0，1，2，3，4，5。由贝努利概型知 。所以的分布律为且 注：本题考察利用贝努利概型求解连续型随机变量中的相关概率问题，这类题型曾多次出现在考研题中。*例19 设随机变量的概率密度为 F(x)是的分布函数，求随机变量=F()的分布函数。解：先求的分布函数F(x).易见，当x8时，F(x)=1。对于，有。设G(y)是随机变量=F()的分布函数。显然，当时，G(y)

22、=0；当时，G(y)=1。对于0y1，有于是，随机变量=F()的分布函数为即随机变量=F()服从均匀分布。注： 事实上，只要随机变量的分布函数F(x)是连续函数，则随机变量=F()就服从均匀分布，请读者思考证之。例20 生活富裕了，设某段时间去汽车交易市场购买小轿车的顾客数服从参数为的泊松分布，而在市场里每个顾客购买小轿车的概率为p，问在这段时间里，恰有k个顾客购买小轿车的概率多大？分析：记为这段时间里购买小轿车的顾客数，所求概率为P=k。但事件=k是与这段时间去汽车交易市场购买小轿车的顾客数有关的，故此问题应用全概公式处理。解：以和分别表示这段时间里进入市场的总人数和购买小轿车的人数，则由全

23、概公式有由于服从参数为的泊松分布，即 另一方面，在已知有=n名顾客进入市场的条件下，购买小轿车的人数=k的条件分布为二项分布，故有从而 注：计算表明，这段时间里购买小轿车的顾客数仍然服从泊松分布，只是参数为。这一性质是泊松分布在随机选择下的不变性。*例21假设随机变量的绝对值不大于1；，；在事件-11出现的条件下，在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求（1）的分布函数F(x)=Px；（2）取负值的概率p。解： （1）据已知，x-1时，F(x)=0; x1时，F(x)=1；以下考虑-1x1时的情形，由于 ，故 另据条件，有于是，对于-1x1，有(-1, x) (

24、-1,1)，因此综上，有24练习与测试1. 设某批电子元件的正品率为，次品率为，现从中任取一个对其测试，如果是次品，再取一个测试，直至测得正品为止，则测试次数的分布律是 。*2. 设相互独立的两个随机变量具有同一分布律，且的分布律为：，则随机变量=max的分布律为： 。3. 设随机变量服从参数为的两点分布，随机变量，则的分布函数= ，的分布函数= 。4. 设随机变量的分布函数在数轴某区间的表达式为，而在其余部分为常数，试写出此分布函数的下述完整表达式： = *5. 若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 。*6. 若随机变量服从均值为2，方差为2的正态分布，

25、且P24=0.3，则P0= 。7函数在a,b上的表达式为，其他地方为0。则当a,b为（ ）时，可以成为随机变量的密度函数。（A）（B）（C）（D）8设随机变量与均服从正态分布N(， 42)， N(，52)，而 ，则( )。(A)对任何实数，都有p1=p2 (B)对任何实数，都有p1p29设随机变量服从标准正态分布，表示其分布函数，且已知P(x)=a，则x= ( )。 （A）（B）（C）（B）10试判断下列数表能否成为某个随机变量的分布律？说明理由，并对于否定的情形稍作修正，使其成为分布律。；(p为任意实数)；11确定下列概率密度中的待定系数k：(1)rvx，为参数）；(2) rvx。12设离散

26、型随机变量的可能取值为1，3，6。对应概率，之比为1：2：4。试求分布律。13. 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各种产品被抽到的可能性相同，在下列三种情形下，分别求出直到取出合格品为止所需抽取次数的分布律：（1）每次取出的产品立即放回该批产品中，然后再取下一件产品；（2）每次取出的产品都不放回该批产品中；（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回该批产品中。14. 经调查获悉某地区人群身高(单位：m)x，房地产开发商按部颁规范将公共建筑物的门高按1.9m设计。试求在此设计下，出入房门时因门高不够而遇到麻烦的人数比例。15某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。16设离散型随机变量服从参数为l0的泊松分布，且。试求、。17设某河流每年