宁德师专期末试卷

1、宁德师专常微分方程期末考试卷(5)姓名_班级_座号_成绩一、填空题：（每小题3分，53=15分） 1方程所有常数解是 2方程的基本解组是 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 4函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上恒不等于零 5若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 （有或无）共同零点二、选择题：（每小题3分，53=15分） 1. 设是方程的通解，则 （A）0 （B）1 （C） （D）-1 2方程过点共有（ ）个解 （A）无数 （B）一 （C）两 （D）三 3阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个 （A）+2 （B）-1 （C）+1 （D） 4一阶

2、线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解 5如果，都在平面上连续，而且有界，则方程 的任一解的存在区间（ ） （A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定三、计算题: 求下列方程的通解或通积分：（每小题8分，84=32分） 1. 2. 3. 4 四、设函数连续，而且满足，求.（10分）五、求解下列微分方程组 满足初始条件的解.（10分）六、证明题：（每小题9分，92=18分） 1、在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切2

3、、 设和是方程的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列式，其中为常数. 宁德师专数学系常微分方程期末考试卷(5)评分标准既参考答案一、填空题：（每小题3分，53=15分） 1 23，（或不含x 轴的上半平面） 4充分 5没有 二、选择题：（每小题3分，53=15分） 1、 B 2、 A 3、D 4、 C 5、 A三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，84=32分） 1、解 将方程变为 .（4分） 从而得 （为任意的常数） （4分） 2、解 将方程变为 （2分） 积分因子为 （2分） 于是原方程化为 （2分） 故原方程的通解为 （2分）3、解 特征方程为，得 （3分） 由于不是特征根，因此设非

4、齐次方程的特解， 代入原方程得，所以特解为 （3分） 故原方程的通解为 （2分） 4、 解 方程改为 （2分） 于是有 （2分） 即 （2分） 故原方程的通解为 （2分） 四、 解 两边关于求一阶导数，有 （2分）两边关于再求一阶导数，得 （3分） 即 而且 而方程的解表示为 （3分） 由，可得 （2分）五、求解下列微分方程组 解 方程组的特征方程为 特征根为 ， （2分） 对应的特征向量应满足 可解得 （2分）类似对应的特征向量分量为 （2分）所以，原方程组的的基解矩阵为 （2分） 方程满足初始条件的解表示为 （2分）六、证明题：（每小题9分，92=18分）1、证明：由已知条件可知，该方程在整个平面满足解的存在惟一性及解的延展定理条且任一解的存在区都是 （2分） 显然，该方程有零解 （2分） 假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切， 即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解 （2分） 可知，这与是非零解矛盾， 所以该方程的任一