蔡氏电路混沌演化研究

1、蔡氏电路的混沌演化摘要：本文简要介绍了混沌及其特征，产生的机理和条件，并从理论分析与MATLAB仿真两个角度分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程。研究结果表明，蔡氏电路中元件参数影响电路混沌状态的演化，随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。关键词：蔡氏电路；混沌演化； MATLAB仿真1简单蔡氏电路设计及模型分析1.1蔡氏电路的提出蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。他证明了在满足以下条件时能够产生混沌现象： (1) 非线性元件不少于1 个；(2) 线性有效电阻不少于1 个；(3) 储能元件不少于3 个。根据

2、以上条件，在图1.1-1中给出蔡氏电路方框图。图中R为线性有效电阻，L、C1、C2为储能元件，RN为非线性元件。图1.1-1 蔡氏电路方框图1.2蔡氏电路的特点蔡氏电路中的非线性元件可用多种方法实现，电路的主要特点也与RN有关。蔡氏电路的运动形电压控制非线性元件RN的驱动点特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求。因此，蔡氏电路至少是三阶以上的自洽电路。因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。现以图1.1-1为例，假设非线性元件为蔡氏二极管，L、C1、C2为线性储能元件，说明电路的状态与电路元件参数的关系。假设以线性电阻R为控制参量， R将

3、线性元件、L连接在C1、RN两端，蔡氏二极管是放能元件，只有R是耗能元件。不断地改变电阻R的数值，可以得到各种周期相图和吸引子。1.3简单蔡氏电路设计及电路模型下面我们按图1.1-1，设计一种简单蔡氏电路如图1.3-1，电路元件参数见表1.3-1。电路中非线性电阻采用一个运算放大器LM741，两个二极管LN4148和七个电阻组成。为了观察混沌现象的演化过程，线性电阻R采用可变电阻，调节范围0-3k。图1.3-1简单蔡氏电路结构图：(a)电路框架图；(b)非线性电阻RN等效电路图。表1.3-1电路元件具体参数元件=参数2010nF100nF18mH3.3k22 k2.2k2201.85V下面分析

4、非线性电阻的伏安特性。非线性电阻中的运算放大器LM741工作在线性放大区域中,由它及和其相连的电阻组成线性负阻,运放本身并没有产生非线性。非线性的产生是通过调节电阻R 的阻值，改变二极管和的状态来改变的大小实现的。 当二极管和都截止时，AB两点的电压为： (1.3-1)下面将调节电阻R，实现对二极管和状态与非线性电阻输出端状态列表1.3-2。表1.3-2电阻R，对二极管和状态与非线性电阻输出端状态控制表条件二极管和状态非线性电阻输出端状态截止，导通，截止导通，截止注：为二极管导通电压，为电容两端的电压 这样，电流对于电压的函数可以表示为： (1.3-2)式(1.3-2)一般可以表示为：/2 (

5、1.3-3)这样就可以得到如图1.3-2所示的非线性电阻RN伏安特性曲线。整个曲线为折线型，转折点处可能会出现电路状态的变化。图1.3-2非线性电阻RN伏安特性曲线这样，这个简单的蔡氏电路的电路模型就列出来了： (1.3-4)其中为电容C1两端的电压，为电容C2两端的电压，为电感L的电流。1. 4简单蔡氏电路数学模型及其分析取x1 =，x2 =，x3 =，a=m1R，b=m0R, ,其中x1 ，x2 ，x3为系统状态变量，自变量为为时间，x1，x2，x3分别对求导，可以得到电路的数学模型： (1.4-1)其中: f(x1) = (注：式中微分都是相对变量)这样，式(1.4-1)可以化为： (1

6、.4-2)令X=考虑到平衡态X=0，即： (1.4-3)根据f(x1)的不同形式，在R3的三个子空间： (1.4-4)式中有唯一的平衡点，分别是：(其中:) (1.4-5)在三个子空间中，式(3.4-2)为线性方程。令， (1.4-2)可改写为: (1.4-6)其中:(注：在子空间中，子空间和中。电路的平衡点在外部区为P+,P-,在内部区为0。根据前面电路的参数可以求得：分别为10,16。)由此得出三个子空间中的平衡点都是鞍点。到目前为止，还不知道系统是否会出现混沌现象，还需要进一步判断。Lyapunov是指数判断系统混沌现象的最常见方法，它能够定量地描述动力系统在相空间中相邻轨道的发散程度。

7、若动力系统在一定区域内的第一个Lyapunov指数0，则动力系统在这个区域上出现混沌现象，并且对于初值是敏感的。在平衡点处的局部区域内计算以上蔡氏电路的第一个Lyapunov指数，可以得到：，可见0,蔡氏电路的运动处于混沌状态。2基于MATLAB的蔡氏电路仿真及结果分析2.1仿真软件选择对于蔡氏电路仿真软件一般用EWB， Pspice，Matlab，VB等等20。软件选择很多，但都不完美，表2.1-1列出了一些软件在蔡氏电路仿真方面的应用情况。表2.1-1蔡氏电路仿真软件特点对比一览表软件名称功能原理图电路原理图波形图相图频谱图管理界面Protel最好最好好无好无Pspice好好好好很好无EW

8、B好好好很好很好无VewSystem好好好很好很好无Matlab很好无很好很好编程编程VB无无编程技巧编程技巧编程编程技巧VC无无编程技巧编程技巧编程编程技巧综合以上数据及个人能力，我们选择了MATLAB。2.2仿真算法式 (1.4-1)是非线性微分方程组，需要用数值方法求解。一般地，四阶龙格-库塔算法21是求解这类方程的基本算法，其算法思想如下：基于Taylor级数展开的方法，利用f在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导数的计算。按微分中值定理： (2.2-1)利用微分方程，得到 (2.2-2)(这里称作区间上的平均斜率)因此只要对平均斜率提供一种算法，便可以得到一个微分方程

9、的数值计算公式。如果在上多预置几个点的斜率值，然后将它们的加权平均作为近似值，则就可以构造出高精度的数值计算公式。四阶龙格-库塔算法的计算公式就是按照这一思路推导出来的，它有多种形式，其标准的数学描述如下： (2.2-3)式中h为根据要求选择的合适步长。四阶龙格-库塔算法的公式每一步计算需四次调用f的函数值，计算量较大，但精确度较高。2.3仿真结果分析采用MATLAB对方程进行求解，积分步长取h=0.01,采用长整型long型数据。仿真中固定以下参数：在范围03k改变线性电阻R阻值，得到随着电阻的减小，电路的混沌演化可归纳出经历如下四个过程：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态（各态间存在过渡

10、态）。2.3.1稳定态当R2285时，方程的解趋近于初始值所在的子空间的平衡点。对应于电路中，电路初始经历一段阻尼振荡，最终停在一个稳定态。此时电路等效电容为零，在相图上，轨线趋近于一稳定焦点如图所示。图2.3.1-1 R2285时，电路处于稳定态相图2.3.2周期态当2265R2285时，方程的解趋近于维数大于零的吸引子中。对应于电路中，经过一段暂态后，电路进行周期和概周期振荡，R的极小变化就会使周期发散为概周期。在相空间中，轨线趋近于一个稳定的空间极限环或稳定环面（分别对应于周期振荡和概周期振荡），如图2. 2 .3给出了振荡的相图。图3.3.2-1 2265R2285时，电路处于周期态相

11、图4.3.3混沌态当1470R2256时，电路进入了混沌振荡态。在相空间中，轨线趋近于一个混沌吸引子。这就是蔡氏涡卷如图。图2.3.3-1 双涡卷吸引子的图2.3.3-2 双涡卷吸引子的图2.3.3-3电路双涡卷吸引子的1470R2258时，电路进入了混沌振荡态2.3.4负阻尼振荡态当R1321时，阻值过小，其能量耗散不足以抵消蔡氏二极管提供的能量。能量在电路中积累起来，使电路的振幅越来越大，最终崩溃。可将电容合并为一个。在相空间中，原点区域构成一个不稳定焦点，所有轨线由这里出发走向无穷远处,电路处于负阻尼振荡态。图2.3. 4-1 R1321，电路处于负阻尼振荡态2.3.5 奇异吸引子电路在

12、从周期态过渡到混沌态，即2256R2265时电路中存在过渡态如下图2.3.5-1。又当电路从混沌态过渡到负阻尼振荡态，即1321R1470电路中存在另一种过渡态如图2.3.5-2。可看出电路在进入混沌态和离开混沌态产生过渡态最为明显。图2.3. 5-1 2256R2265图2.3.5-2 1321R14702.4仿真结果讨论由以上四个状态的相图可以看出，前三个状态是稳定的，在原点附近存在一个稳定的吸引子。且状态一和状态二属于平庸吸引子，状态三是混沌吸引子。而状态四则是原点不稳定的。吸引子由低维到高维，由稳定到失稳，正是由于R的减小，R决定了能量的耗散。耗散系统的长期行为是要稳定于相空间的一个低

13、维点集上，即吸引子上。而吸引子的维数随着R的减小而增大。结论，状态四不稳定，最终会将电路击穿或烧坏。状态一和状态二虽然稳定，但其平衡点的标值很大，即稳态的电流电压值很大，同样会损坏电路。因而，R的值应在1470R2256之间，这样才能确保电路不致烧坏。3总结本文设计了产生混沌现象的简单蔡氏电路，并从理论分析和MATLAB仿真两个角度分别研究了三阶蔡氏电路的不同运行状态进行了研究。结果表明，在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。随着线性电阻阻值的增大蔡氏电路的状态具体可归纳为：(1) 稳定态，对应于电路中，电路初始经历一段阻尼振荡，最终停在一个稳定态。此时电路等效电容为零。

14、(2) 周期态，对应于电路中，经过一段暂态后，电路进行周期和概周期振荡，R的极小变化就会使周期发散为概周期。(3)混沌态，当1470R2256时，电路进入了混沌振荡态。在相空间中，轨线趋近于一个混沌吸引子。这就是蔡氏双涡卷。(4)负阻尼振荡态，变阻器阻值过小，其能量耗散不足以抵消蔡氏电路提供的能量。能量在电路中积累起来。使电路的振幅使电路的振幅越来越大，最终崩溃。可将电容合并为一个。Study on Chaos Evolvement of ChuasCircuit Based on MATLABSchool of Physics and Mechanical & Electrical Engi

15、neering, Longyan University 07 Undergraduate Physics2007050211 Quan Huang Instructor Jing Lv (assistant)Abstract：Chaos phenomenon in nonlinear science was introduced briefly in this paper, including basic theory and application. A Chaos Evolvement of simple Chuas Circuit is studied by theoretical analysis and simulation based on MATLAB, respectively. It is found that component parameter will affect chaos evolvement of Chuas Ci