《概率论》第2章2离散型随机变量

1、用同一支枪对目标进行射击，直到击中目标为止,则射击次数 是离散型 r.v.,离散型 r.v,非离散型 r.v,随机变量的分类,定义,散型随机变量,将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，定义,正面出现的次数,至多可列,的取值为 故 是离散型 r.v,例,例,114查号台一天接到的呼叫次数 是离散型 r.v,电子产品的寿命 是否是离散型 r.v,例,问,？,且,r.v的所有可能的取值,设 为离散型 r.v,设 所有可能的取值为,易知,的统计规律完全由数列 确定,定义,称,离散型随机变量的分布律包括两方面,r.v取各个值的概率,将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记 为正面出现的次数,

2、求 的分布律,的取值为,故 的分布律为,例,解,其样本空间为,问,分布律有什么特点,？,全部和为1,所有样本点遍历一次,分布律的基本性质：,证,分布律的本质特征,本质特征的含义：,离散型r.v的概率分布规律相当于向位于 处的“盒子”中扔球,分布律的几种表示方法,解析式法,列表法,矩阵法,想象,扔进第 个 “盒子”的可能性是,.记,解,一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为 记 表示球队结束比赛时的比赛次数，求 的分布律.,例,可能的取值为,通过第 轮比赛,则,代入 求得 的分布律为,严格说单点分布并不具有“随机性”,视为随机变量完全是理论上的需要,几种重要的离散型随机变量,（0

3、）单点分布,如果 的分布律为,注,单点分布也称为退化分布,某事件发生的概率为 则称该事件“几乎处处”发生,例如,记为 或,记为 或,一门课程的考试是“及格”还是“不及格”,刚出生的新生儿是“男”还是“女”,产品检验的结果是“合格”还是“不合格”,射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”,（一）（0-1）两点分布,如果 的分布律为,(0 -1)分布的实际背景,若一个试验只产生两个结果，则可以用服从(0-1)分布的r.v来描述,例,例,例,例,（二）伯努利试验与二项分布,伯努利试验：,只产生两个结果 的试验,伯努利试验产生什么样的随机变量,？,将伯努利试验独立重复进行 次的试验,例,某战士用步枪

4、对目标进行射击，记,每射击一次就是一个伯努利试验,如果对目标进行 次射,击,则是一个 重伯努利试验.,例,从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记,每检验一个产品就是一个伯努利试验.,独立地抽 件产品进行检验,是否是 重伯努利试验,？,如果产品批量很大,可近似看作 重伯努利试验,人物介绍 伯努利,问,问,在伯努利试验中，令,“独立”是指各次试验的结果互不影响,令,注,“重复”是指在每次试验中概率 保持不变,记,第 次试验结果,有,重伯努利试验中事件 发生的次数,则 是一个离散型 r.v,的分布律是什么,？,的取值为,发生 次 发生 次,次独立试验中,重伯努利试验中事件 发生的次数,从 选 个数

5、组合,相互独立,事件组互不相容,记 从而 的分布律为,易知,定义,若 的分布律为,特别当 时 就是(0-1)两点分布，即,重伯努利试验中事件 发生的次数,的分布律刚好是 牛顿二项展开式的通项,二项分布的图形,因为元件的数量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽样,一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？,解,例,记 表示20只元件中好品的数量，则,线路正常,保险业是最早应用概率论的行业之一.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率.,若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保

6、险，试求在未来一年中在这些保险者里面， 有40个人死亡的概率; 死亡人数不超过70个的概率.,解,例,记 为未来一年中在这些人中死亡的人数，则, 用计算机编程计算, 利用第五章介绍的极限定理来计算,设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法, 由4人维护,每人负责20台; 由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小.,则80台设备中发生故障而不能及时维修的概率为,解,例,同时发生故障的台数,，则,则80台设备中发生故障而不能及时维修的概率为,从两种计算结果可见，方法工人的劳

7、动强度增加了(每人平均维护约27台)，但是工作效率大大提高。,共15层小钉,高尔顿钉板试验,小球最后落入的格数 ?,记小球向右落下的次数为 则,记小球向左落下的次数为 则,（三）泊松流与泊松分布,泊松流:,例,随着时间的推移,在时间轴上源源不断出现的随机粒子流称为泊松流,典型的泊松流：随机服务系统,电话交换台在某时间段内接到的呼叫数,公共汽车站在某时间段内来到的乘客数,营业员在某时间段内接待的顾客数,114查号台在某时间段内接到的查号电话数,医院在一天内收到的急诊病人数,大型购物中心的停车场,轿车的到达数,计算机网络中数据包数,例,典型的泊松流：稀疏现象的发生,119报警台在某时间段内接到的火

8、警电话数,一本书一页中的印刷错误数,某地区在一天内邮递遗失的信件数,某地区在一天发生的交通事故数,我国每年撰写“用直尺与圆规三等分任意角”的论文数,电子设备在某时间内受到的干扰冲击次数,雷达在跟踪目标时接收到的电磁干扰信号脉冲流,例,典型的泊松流：物理学中的现象,放射性分裂落到某区域的质点数,热电子的发射数,显微镜下落在某区域中的微生物数,定义,设 的取值为 取值概率为,或,泊松分布的性质:,在泊松流中,记区间 中出现的质点数为 问 服从什么分布,问题,从理论上可以证明: 泊松流中出现的质点数 服从泊松分布,泊松分布是构造随机现象的“基本粒子”之一,注,人物介绍 泊松,泊松分布的图形,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的