线性代数综合练习题

1、.线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1设a是三阶矩阵，将a的第一列与第二列交换得b，再把b的第二列加到第三列得c，则满足aq=c的可逆矩阵q为（ ）。（a）； （b）；（c）； （d）。 2设a、b为满足ab=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。（a）a的列向量组线性相关，b的行向量组线性相关；（b）a的列向量组线性相关，b的列向量组线性相关；（c）a的行向量组线性相关，b的行向量组线性相关；（d）a的行向量组线性相关，b的列向量组线性相关。3下列向量集按rn的加法和数乘构成r上一个线性空间的是（ ）。（a）rn中，坐标满足x1+x2+xn=0的所有向量；（

2、b）rn中，坐标是整数的所有向量；（c）rn中，坐标满足x1+x2+xn=1的所有向量；（d）rn中，坐标满足x1=1，x2， xn可取任意实数的所有向量。4设=2是非奇异矩阵a的一个特征值，则矩阵（a2）-1有一个特征值等于（ ）。（a）； （b）； （c）； （d）。 5任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。（a）合同； （b）相似； （c）等价； （d）以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）1设矩阵a=，矩阵b满足：aba*=2ba*+e，其中a*为a的伴随矩阵，e是三阶单位矩阵，则|b|= 。2已知线性方程组无解，则= 。精品.3若a=为正交矩阵，则= ，= 。4设a为n阶

3、矩阵，且|a|0，a*为a的伴随矩阵，e为n阶单位矩阵。若a有特征值，则（a*）2+e必有特征值 。5若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，则t的取值范围是 。三、（15分）设有齐次线性方程组： 试问取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。四、（10分）设r3的两组基为：和，向量=（2，3，3）t（1）求基到基的过渡矩阵；（2）求关于这两组基的坐标。五、（15分）设三阶实对称矩阵a的特征值为1 = -2，2 = 1（2重），1=（1，1，1）t是属于1 = -2的特征向量。试求：（1）属于2 = 1（2重）的特征向量；（2）a的伴随矩

4、阵a*。六、（10分）设二次型通过正交变换化为：，求、。七、（10分）已知a ，b为n阶可逆方阵，且满足2a-1b=b-4e，其中e是n阶单位矩阵，试证：a-2e可逆。并求出（a-2e）-1=？精品.八、（10分）设为阶矩阵，且，其中是中元素的代数余子式（=1，2，n）。试证：的伴随矩阵*的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。精品.线性代数综合练习参考答案一、选择题：1（d）；2（a）；3（a）；4（b）；5c）；二、填空题： 1；2-1；3 ，；4；5-三、解：a=（1）当=0时，r(a)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+ x4=0由此得一基础解系为：，

5、 故全部解为： （其中为任意常数）（7分）（2）当0时，当=-10时，r（a）=34，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：，解之，可得一个基础解系为：y=（1，2，3，4）t，故全部解为：x=ky（其中k为任意常数）（15分）备注：此题也可另解|a|=（+10）3当|a|=0时，即=0或=-10时，齐次线性方程组有无穷解。精品.四、解：（1）记b=（）=，c=（）=则有： 从而，由基到基的过渡矩阵为：a=b-1c=（5分）（2）设关于基的坐标为（）即：由此可得：，解之得：，故关于基的坐标为（0，1，1），又=即关于基的坐标为（1，1，2）（10分）五、解：（1）设a的属于特征值2=1（

6、2重）的特征向量为（x1，x2，x3）t，则a是实对称矩阵，精品.（x1，x2，x3）t与1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：2=（-1，1，0）t3=（-1，0，1）ta的属于2=1的全部特征向量为：k12+ k23（k1，k2不同时为0）（5分）（2） a*=|a|a-1a*的特征值为：|a|（-），|a|1（2重） 又|a|=-2 a*的特征值为：1，-2（2重）（10分）a*（1，2，3）=（1，2，3）a*=（1，2，3）（1，2，3）-1=精品.=（15分）六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为： 和于是，a、b相似，从而有相同的特征多项式即：|e-a|=|e-b|（5分）也即：3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比较上式等号两边的各幂次项系数有：（10分）七、证明：2a-1b=b-4e左乘a，得：2b=ab-4a（5分）即：ab-2b-4a=0（a-2e）（b-4e）=8e故a-2e可逆，且（a-2e）-1=（b-4e）（10分）精品.八、证明：r（a）=n-1 r（a*）=1（2分）又齐次线性方程组（0e-a*）x=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，0是a*的特征值，其