第11讲一元二次方程

1、第11讲 一元二次方程 本讲重点：一元二次方程的解法及其应用.【考点链接】1一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项，叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接 的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式，如果是非负数，即，

2、就可以用 求出方程的解. （3）公式法：一元二次方程的求根公式是 （）. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 【典例探究】考点1 一元二次方程及其解的概念例1（1）（2012兰州模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）ABCD（2）（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A1 B1C 0 D无法确定（3）（2012滨州模拟）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为_ .解

3、析（1）A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误故选C（2）根据题意得：（m1）+1+1=0，解得：m=1故选B（3）把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得4-2-a2+5=0，解得：a=备考兵法对于方程ax2bxc0，只有当a0时，才叫做一元二次方程.因此，如果明确指出ax2bxc0是一元二次方程，那就一定包括a0这个条件.例如：对于

4、方程(a-1)x2-bx+c0，当a1时，方程是一元二次方程，当a=1且b0时，方程是一元一次方程考点2 一元二次方程的解法例2（教材例题变式题）解下列方程：(1)； (2)x26x190；(3)3x24x1； (4)y2152y；(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2.解析方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了. (1)(1x)2，(x1)23，x1，x11，x21.(2)移项，得x26x19，配方，得x26x(3)219(3)2，(

5、x3)228，x32，x132，x232.(3)移项，得3x24x10，a3，b4，c1，x,x1.(4)移项，得y22y150，把方程左边因式分解，得(y5)(y3)0；y50或y30，y15，y23.(5)将方程左边因式分解，得(x3)5x(x1)0，(x3)(4x1)0，x30或4x10，x13，x2.(6)移项，得4(3x1)225(x2)20，2(3x1)25(x2)20，2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0，(11x8)(x12)0，11x80或x120，x1，x212.备考兵法在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程.但

6、对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便.因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解.配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法.而在以后的学习中，会常常用到配方法，所以要掌握这个重要的数学方法.考点3 一元二次方程的应用例3（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让

7、利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解析（1）设每千克核桃应降价x元 根据题意，得 （60x40）（100+20）=2240 化简，得 x210x+24=0,解得x1=4，x2=6 答：每千克核桃应降价4元或6元 （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元 此时，售价为：606=54（元）， 答：该店应按原售价的九折出售备考兵法列一元二次方程解应用题的关键在于审题和分析题中的数量关系 (1)审题要弄清已知量与未知量之间的内在联系 (2)分析等量关系时，从多角度来考虑注意：正确求解方程后要检验解的合理性【当堂过关】1. （2012乌鲁木

8、齐模拟）关于x的一元二次方程（a1）x2x|a|10的一个根是0，则实数a的值为（）A、1B、0C、1D、1或1解析把x0代入方程得：|a|10，a1，a10，a1答案A2. （2012荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是（）A（x1）2=4B（x+1）2=4 C（x1）2=16D（x+1）2=16解析把方程x22x3=0的常数项移到等号的右边，得到x22x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x22x+1=3+1，配方得（x1）2=4答案A3. （2012常德）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 （ ） A. B. C. D.解析一元二次方程

9、有实数解，则0，然后再解不等式.答案B4. (2012兰州)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为()A x(x10)200 B 2x2(x10)200 C x(x10)200 D 2x2(x10)200解析花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，长为(x10)米，花圃的面积为200，可列方程为x(x10)200答案C5. （2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是 ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A B C D 解析根据题意得：.答案C6. （2012滨州）方程x（x2

10、）=x的根是 解析原方程可化为x（x2）x=0，x（x21）=0，x=0或x3=0，解得：x1=0，x2=3答案x1=0，x2=37. （2012兰州模拟）关于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均为常数，a0），则方程的解是 . 解析关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=22=4，x2=12=1 答案x1=4，x2=18. （2012常州模拟）已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 解析根据题意，得4+2m6=0，即2m2=0，解得，m=1；x2=3答案1,39

11、. （1）（2012无锡）解方程：x24x+2=0（2）（2012南京市模拟）解方程x24x1=0.解：（1）=42412=8，.（2）解法一：移项，得配方，得，由此可得，.解法二：，10. （2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2解：设AB=xm，则BC=（502x）m根据题意可得，x（502x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15

12、米，BC为20米的矩形【浙江两年中考】1. （2011年嘉兴、舟山市）一元二次方程的解是（）（A）（B）（C）或（D）或解析一元二次方程的解是或.答案C2. （2011年衢州市）方程的解为_.解析.答案3. （2010年舟山市）已知x=2是一元二次方程（的一个根，则的值是 .解析把x=2代入方程（.答案4，04. （2012温州）解方程：x2x=5.解：配方解得.5. （2012绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索.【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点

13、B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=而A1B1=2.5，在RtA1B1C中，由得方程 ，解方程得x1= ，x2= ，点B将向外移动 米.（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题.解：（1）；0.8，2.2（舍去）；0.8.（2）不会是0.9米，理

14、由如下：若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.40.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，该题的答案不会是0.9米.有可能.理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）.当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.【命题趋势提醒】一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，题型有填空、选择、解答中考对数学思想方法的考查一一元二次方程的实际应用将进一步提高，一大批具有较强的时代气息，格调清新、设计自然、紧密联

15、系日常生活实际的应用题将会不断涌现.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. （2012张家界模拟）已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A、1B、1 C、0D、无法确定解析根据题意得：（m1）+1+1=0，解得：m=1答案B2. （2012泰州模拟）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=2解析x2=2x，x22x=0，x（x2）=0，x=0或x2=0，x1=0，x2=2答案C3. （2012南昌）已知关于x的一元二次方

16、程x2+2xa=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A1 B1C D解析关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根，=22+4a=0，解得a=1答案B4. （2012荆州模拟）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3 B、（x+2）2-4 C、（x+2）2-5 D、（x+2）2+4解析x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5.答案C5. （2012湘西模拟）小华在解一元二次方程x2x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3 C、x=2D、x=0解析x2x=0，x（x1）=0，：x1=0，x2=1，则被漏掉

17、的一个根是0答案D6. （2012包头模拟）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根 D、无法确定解析=b24ac=1241=0，原方程有两个相等的实数根答案B7. （2012青海模拟）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（）A、k4B、k4 C、k4D、k=4解析b24ac=4241k0，解得k4.答案B8. （2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（） A550

18、0（1+x）2=4000 B5500（1x）2=4000 C4000（1x）2=5500 D4000（1+x）2=5500解析2010年的房价为：4000（1+x），2011年的房价为：4000（1+x）2=5500答案D9. （2012黄石模拟）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线则n的值为（）A5B6C7D8解析设有n个点时，=21，解得n=7或n=6（舍去）答案C10. （2012兰州模拟）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出

19、方程为（ ）ABCD解析根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，全班共送：（x-1）x=2070.答案A二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012铜仁）一元二次方程的解是 解析原方程可化为：（x3）（x+1）=0，x1=3，x2=1答案x1=3，x2=112. （2012达州模拟）已知关于x的方程x2mx+n=0的两个根是0和3，则m= ，n= 解析根据题意，得，解得，答案3、013. （2012广州）已知关于x的一元二次方程x22x+k=0有两个相等的实数根，则k值为 解析=（2）24k=0，124k=0，解得k=3答案314. （2012

20、恩施州模拟）解方程（x1）25（x1）+4=0时，我们可以将x1看成一个整体，设x1=y，则原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，即x1=1，解得x=2；当y=4时，即x1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5则利用这种方法求得方程 （2x+5）24（2x+5）+3=0的解为 .解析设y=2x+5，方程可以变为 y24y+3=0，y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=1，所以原方程的解为：x1=2，x2=1答案x1=2，x2=115. （2012宁夏模拟）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，

21、连续两次降价m%后现价为25元根据题意可列方程为 解析等量关系为： 原价（1降低率）2=25，把相关数值代入即可答案36（1m%）2=2516. （2012潍坊模拟）已知线段AB的长为以AB为边在AB的下方作正方形ACDB取AB边上一点E以AE为边在AB的上方作正方形AKNM过E作EFCD垂足为F点若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等则AE的长为_解析设AE的长为x，则BE的长为a-x，根据题意得：x2=（a-x）a，解得：x= .答案三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（8分）（1）（2012安徽）解方程：；（2）（2012武汉模拟）解方

22、程：x2+3x+1=0.解：（1）（原方程化为：x24x=1,配方，得x24x+4=1+4,整理，得（x2）2=5,x2=,即，.（2）a=1，b=3，c=1，x=18.（8分）（1）(2012兰州)已知x是一元二次方程x22x10的根，求代数式的值（2）（2012烟台模拟）先化简再计算：，其中x是一元二次方程的正数根. 解：（1）x22x10，x1x21，原式，当x1时，原式（2）原式=. 解方程得得，.原式= .19.（6分）（2012珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=3时，求方程的根解：（1）当m=3时，=b24ac=2243=80，原方程无实数根；（2）当m=3时，原方程变为x2+2x3=0，（x1）（x+3）=0，x1=0，x+3=0，x1=1，x2=320.（8分）（2012厦门模拟）已知关于x的方程x22x2n=0有两个不相等的实数根（1）求n的取值范围；（2）若n5，且方程的两个实数根都