2021年中考数学专题训练：函数存在性问题【三角形问题】

1、 2021年中考数学专题训练：函数存在性问题【三角形问题】1、 课程概述（1） 抛物线上因动点产生的等腰三角形问题：两圆一线求解法（2） 抛物线上因动点产生的直角三角形问题：两线一圆求解法（3） 抛物线上因动点产生的相似三角形问题：找相等角，再讨论2、 课程知识点（1） 抛物线上因动点产生的等腰三角形问题的方法和技巧如图，已知线段和直线，在直线上找点，使为等腰三角形 1）几何法画图：采取两圆一线法。如右图，分别过两点，以长为半径画圆交直线于四点，再作的垂直平分线交直线于一点，这五个点即为所求2）代数法求点：根据腰长相等关系求点，在将所求的点进行检验，不符合题意的腰舍去。（2） 抛物线上因动点产

2、生的直角三角形问题的方法和技巧如图，已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形1）几何法画图：采取两线一圆法。如右图，分别过两点作的垂线交直线于两点，再以的直径画圆，分别交直线于两点，则这四个点即为所求2）代数法求点：利用勾股定理来建立等量关系求解，有时还需用相似，双垂直，三垂直模型进行求解（3） 抛物线上因动点产生的相似三角形问题的方法和技巧1） 以点为顶点的三角形和相似，根据“两组角对应相等，两三角形相似”进行分类讨论， 共有六种可能情况：2） 通常情况下，都有一组对应角相等，故首先寻找一组对应角相等，然后再分两种情况讨论。3） 还有一种情况是根据三边对应成比例列连比式解方程组，但是这种

3、不是很多见。3、 课程经典例题例1：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于两点，点的坐标是连接(1)求过三点的抛物线的解析式，并判断的形状； (2)动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为秒，当为何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【考点内容】：待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质 【解题思路】：（1）先确定出点坐标，再用待定系数法求出抛物线解

4、析式；用勾股定理逆定理判断出是直角三角形；（2）根据运动表示出判断出，得到即可；（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可，此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点 【答案】：（1）解：直线与轴，轴相交于两点， 抛物线过原点， 设抛物线解析式为，抛物线过点 解得抛物线解析式为，是直角三角形（2）解：如图1，当运动秒，即时，由（1）得，在和中， 当运动时间为时，（3）解：存在，抛物线的对称轴为， 设点，若时， 若时， 若时， ，此时点恰好是线段的中点，构不成三角形，舍去，点的坐标为：

5、 例2：如图，抛物线的顶点为，该抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)证明：； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由 【考点内容】;二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题 【解题思路】;（1）先求出点的坐标，在由确定出点的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出点的坐标，从而求出，求出比值，得到得出结论；（3）设出点的坐标，表示出，求出，分三种情况计算即可此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三

6、角形的判定，解本题的关键是判断 【答案】：（1）解：抛物线，该抛物线与轴交于两点， 解得抛物线解析式为（2）证明：由（1）知，抛物线解析式为，直线与轴交于点，, （3）解：存在，理由：设，是等腰三角形，当时， 当时，P当时，符合条件的点坐标为或或 例3：已知：一次函数的图象与轴、轴的交点分别为，二次函数的关系式为（1）说明：二次函数的图象过点，并求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标；（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求的取值范围；（3）若二次函数的图象过点，则在此二次函数的图象上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由【考点内容】

7、：本题是二次函数综合题型，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求解，二次函数顶点坐标，二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，【解题思路】（1）根据直线解析式求出点的坐标，再根据二次函数解析式令求关于的一元二次方程即可求出的坐标，即可得解；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，再求出对称轴与直线的交点，然后根据顶点在交点下方列出不等式，求解即可；（3）把点的坐标代入抛物线求出的值，从而得到函数解析式，再根据点的坐标求出的长，然后根据两边对应成比例，两三角形相似求出，根据相似三角形的性质求出是直角三角形，所以，点与重合时满足，再根据抛物线对称性，令，解关于的一元二次方程即可求出点的另一种情况【

8、答案】：解：（1）令，则 解得，令，故点，令，则，整理得，解得， 所以，二次函数的图象过点，二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为；（2）所以，抛物线的顶点坐标为 当时，二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方， 解得 a的取值范围是-（3）存在理由如下：二次函数的图象过点，解得抛物线解析式为点，是直角三角形，此时点与点重合，根据二次函数的对称性，当时，整理得，解得，点的坐标为时，是直角三角形例4：如图，已知抛物线经过原点，顶点为，且与直线交于两点(1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以为顶点的三角形与相似？

9、若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【考点内容】抛物线与x轴的交点，勾股定理 【解题思路】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得点坐标； （2）分别过两点作轴的垂线，交轴于点两点，结合三点的坐标可求得，可证得结论； （3）设出点坐标，可表示出点坐标，从而可表示出的长度，当相似时，利用三角形相似的性质可得 ，可求得点的坐标 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键

10、，注意相似三角形点的对应本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 【答案】：（1）解：顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为 又抛物线过原点，解得，抛物线解析式为，即，联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 （2）证明：如图，分别过两点作轴的垂线，交轴于点两点，则 是直角三角形；（3）解：假设存在满足条件的点，设，由（2）在中，可分别求得轴于点，当相似时有当时，则有 ，即|当时不能构成三角形，即解得，此时点坐标为；当时，则有 ，即，即，解得，此时点坐标为综上可知存在满足条件的点，其坐标为或 例5：如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点 (1)求抛物线的解析式；

11、(2)过点且与轴平行的直线与直线分别交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； (3)当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【考点内容】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式 【解题思路】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点，表示出，再用S，建立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出，再得到，以为顶点的三角形与相似，分两种情况计算即可【答案】（1）解：点在抛物线上，抛物线的解析式为（2）解：，点的坐标，点，直线的解析式为

12、，设点当时，四边形的面积的最大值是 ，此时点（3）解： ， 同理可得： 在直线AC上存在满足条件的，设且以为顶点的三角形与相似，当时， 当时， 习题巩固习题1（2016昆明）如图1，对称轴为直线的抛物线经过两点，抛物线与x轴的另一交点为(1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，若是线段上一动点，在轴是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1） （2）最大值是6 （3）点的坐标为习题2：【答案】解：（1） （2） （4） 当时，是等腰三角形习题3：如图，二次函数的

13、图象经过点直线与轴交于点为二次函数图象上任一点（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点在直线的上方，过分别作和轴的垂线，交直线于不同的两点（在的左侧），求周长的最大值；（3）是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1） （2）最大值是 （3）点坐标（3,2）或（-1,0）或（8，-18）习题4：如图，已知抛物线方程：与轴交于点（点在点的左侧），与y轴交于点（1）若抛物线过点，求实数的值；（2）求的面积；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1） （2） （3）的值为习题5：如图，已知二次函数（为常数）的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图