高等数学教学课件 函数的极限

1、.,sin,时的变化趋势,当,观察函数,?,?,x,x,x,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,问题,:,函数,),(,x,f,y,?,在,?,?,x,的过程中,对应,函数值,),(,x,f,无限趋近于确定值,A,.,;,),(,),(,任意小,表示,A,x,f,A,x,f,?,?,?,?,.,的过程,表示,?,?,?,x,X,x,.,0,sin,),(,无限接近于,无限增大时,当,x,x,x,f,x,?,通过上面演示实验的观察,:,问题,:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”,.,定义,1,如果对于任意给定的正数,?,(,不论它多么小,),总存在着正数,X,使得对于适合不等式,X,x,?

2、,的一切,x,所对应的函数值,),(,x,f,都满足不等式,?,?,?,A,x,f,),(,那末常数,A,就叫函数,),(,x,f,当,?,?,x,时的极限,记作,),(,),(,),(,lim,?,?,?,?,?,?,x,A,x,f,A,x,f,x,当,或,:,.,1,定义,定义,X,?,?,.,),(,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,X,x,X,恒有,时,使当,?,?,?,?,A,x,f,x,),(,lim,:,.,1,0,情形,?,?,x,.,),(,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,X,x,X,恒有,时,使当,:,.,2,0,情形,?,?,

3、x,A,x,f,x,?,?,?,),(,lim,.,),(,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,X,x,X,恒有,时,使当,A,x,f,x,?,?,?,),(,lim,2.,另两种情形,:,?,?,?,?,A,x,f,x,),(,lim,:,定理,.,),(,lim,),(,lim,A,x,f,A,x,f,x,x,?,?,?,?,?,?,且,x,x,y,sin,?,3.,几何解释,:,?,?,?,X,?,X,.,2,),(,的带形区域内,宽为,为中心线,直线,图形完全落在以,函数,时,或,当,?,?,?,?,?,?,A,y,x,f,y,X,x,X,x,A,2,lim,2

4、,lim,?,?,?,?,?,?,?,?,?,arctgx,arctgx,x,x,arctgx,x,?,?,lim,x,x,y,sin,?,例,1,.,0,sin,lim,?,?,?,x,x,x,证明,证,x,x,x,x,sin,0,sin,?,?,?,x,1,?,X,1,?,?,?,0,?,?,?,1,?,?,X,取,时恒有,则当,X,x,?,0,sin,?,?,?,x,x,.,0,sin,lim,?,?,?,x,x,x,故,.,),(,),(,lim,:,的图形的水平渐近线,是函数,则直线,如果,定义,x,f,y,c,y,c,x,f,x,?,?,?,?,?,二、自变量趋向有限值时函数的极限

5、,问题,:,函数,),(,x,f,y,?,在,0,x,x,?,的过程中,对应,函数值,),(,x,f,无限趋近于确定值,A,.,;,),(,),(,任意小,表示,A,x,f,A,x,f,?,?,?,?,.,0,0,0,的过程,表示,x,x,x,x,?,?,?,?,?,x,0,x,?,?,0,x,?,?,0,x,?,?,0,邻域,的去心,点,?,x,.,0,程度,接近,体现,x,x,?,定义,2,如果对于任意给定的正数,?,(,不论它多,么小,),总存在正数,?,使得对于适合不等式,?,?,?,?,0,0,x,x,的一切,x,对应的函数值,),(,x,f,都,满足不等式,?,?,?,A,x,f,

6、),(,那末常数,A,就叫函数,),(,x,f,当,0,x,x,?,时的极限,记作,),(,),(,),(,lim,0,0,x,x,A,x,f,A,x,f,x,x,?,?,?,?,当,或,:,.,1,定义,定义,?,?,?,.,),(,0,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,x,x,恒有,时,使当,2.,几何解释,:,),(,x,f,y,?,?,?,A,?,?,A,A,?,?,0,x,?,?,0,x,0,x,?,?,x,y,o,.,2,),(,0,的带形区域内,宽为,为中心线,线,图形完全落在以直,函数,域时,邻,的去心,在,当,?,?,?,?,A,y,

7、x,f,y,x,x,注意：,;,),(,.,1,0,是否有定义无关,在点,函数极限与,x,x,f,.,.,2,有关,与任意给定的正数,?,?,.,越小越好,后,找到一个,显然,?,?,例,2,).,(,lim,0,为常数,证明,C,C,C,x,x,?,?,证,A,x,f,?,),(,C,C,?,?,成立,?,?,0,?,?,任给,0,?,.,lim,0,C,C,x,x,?,?,?,0,?,?,任取,0,0,时,当,?,?,?,?,x,x,例,3,.,lim,0,0,x,x,x,x,?,?,证明,证,),(,0,x,x,A,x,f,?,?,?,?,0,?,?,任给,?,?,?,取,0,0,时,当

8、,?,?,?,?,?,?,x,x,0,),(,x,x,A,x,f,?,?,?,成立,?,?,.,lim,0,0,x,x,x,x,?,?,?,例,4,.,2,1,1,lim,2,1,?,?,?,?,x,x,x,证明,证,2,1,1,),(,2,?,?,?,?,?,x,x,A,x,f,?,0,?,?,任给,?,?,?,只要取,0,0,时,当,?,?,?,?,x,x,函数在点,x,=1,处没有定义,.,1,?,?,x,),(,?,?,?,A,x,f,要使,2,1,1,2,?,?,?,?,?,x,x,就有,.,2,1,1,lim,2,1,?,?,?,?,?,x,x,x,例,5,.,lim,0,0,x,

9、x,x,x,?,?,?,证,0,),(,x,x,A,x,f,?,?,?,?,0,?,?,任给,min,0,0,?,?,?,x,x,取,0,0,时,当,?,?,?,?,x,x,0,0,x,x,x,x,?,?,?,),(,?,?,?,A,x,f,要使,0,?,?,?,x,x,就有,0,0,x,x,x,?,?,.,0,0,且不取负值,只要,?,?,?,x,x,x,.,lim,0,:,0,0,0,x,x,x,x,x,?,?,?,时,当,证明,3.,单侧极限,:,例如,.,1,),(,lim,0,1,0,1,),(,0,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,f,x,x,x,x,x,f,x,证明

10、,设,两种情况分别讨论,和,分,0,0,?,?,x,x,0,x,x,从左侧无限趋近,;,0,0,?,?,x,x,记作,0,x,x,从右侧无限趋近,;,0,0,?,?,x,x,记作,y,o,x,1,x,y,?,?,1,1,2,?,?,x,y,左极限,.,),(,0,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,x,x,x,恒有,时,使当,右极限,.,),(,0,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,x,x,x,恒有,时,使当,0,0,0,:,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,

11、x,x,x,x,?,注意,.,),0,(,),(,lim,0,),(,0,0,0,A,x,f,A,x,f,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,或,记作,.,),0,(,),(,lim,0,),(,0,0,0,A,x,f,A,x,f,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,或,记作,.,),0,(,),0,(,),(,lim,:,0,0,0,A,x,f,x,f,A,x,f,x,x,?,?,?,?,?,?,?,定理,.,lim,0,不存在,验证,x,x,x,?,y,x,1,1,?,o,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,0,0,lim,lim,左右极限存在但不相等,.,),

12、(,lim,0,不存在,x,f,x,?,?,例,6,证,1,),1,(,lim,0,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,x,x,x,0,0,lim,lim,?,?,?,?,1,1,lim,0,?,?,?,?,x,三、函数极限的性质,1.,有界性,定理,若在某个过程下,),(,x,f,有极限,则存在,过程的一个时刻,在此时刻以后,),(,x,f,有界,.,2.,唯一性,定理,若,),(,lim,x,f,存在,则极限唯一,.,推论,).,(,),(,),(,0,),(,lim,),(,lim,0,0,0,0,x,g,x,f,x,U,x,B,A,B,x,g,A,x,f,x,x,x,x,?,?,?

13、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,有,则,且,设,3.,不等式性质,定理,(,保序性,),.,),(,),(,),(,0,.,),(,lim,),(,lim,0,0,0,0,B,A,x,g,x,f,x,U,x,B,x,g,A,x,f,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则,有,若,设,).,0,),(,(,0,),(,),(,0,),0,(,0,),(,lim,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,f,x,f,x,U,x,A,A,A,x,f,x,x,或,时,当,则,或,且,若,定理,(,保号性,),).,0,(,0,),0,),(,(,0,

14、),(,),(,0,),(,lim,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,x,f,x,f,x,U,x,A,x,f,x,x,或,则,或,时,当,且,若,推论,4.,子列收敛性,(,函数极限与数列极限的关系,),?,?,.,),(,),(,),(,),(,),(,.,),(,),(,2,1,0,0,0,时的子列,当,为函数,即,则称数列,时,使得,有数列,中,或,可以是,设在过程,a,x,x,f,x,f,x,f,x,f,x,f,a,x,n,a,x,x,x,x,a,a,x,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,定义,.,),(,lim,),(,),(,),

15、(,lim,A,x,f,a,x,x,f,x,f,A,x,f,n,n,n,a,x,?,?,?,?,?,?,则有,时的一个子列,当,是,数列,若,定理,证,.,),(,0,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,x,x,恒有,时,使当,A,x,f,x,x,?,?,),(,lim,0,?,.,0,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,N,n,N,n,恒有,时,使当,对上述,),(,?,?,?,A,x,f,n,从而有,.,),(,lim,A,x,f,n,x,?,?,?,故,lim,0,0,x,x,x,x,n,n,n,?,?,?,?,且,又,

16、?,例如,x,x,y,sin,?,1,sin,lim,0,?,?,x,x,x,1,1,sin,lim,?,?,?,n,n,n,1,1,sin,lim,?,?,?,n,n,n,1,1,sin,1,lim,2,2,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极,限都存在,且相等,.,例,7,.,1,sin,lim,0,不存在,证明,x,x,?,证,?,?,1,?,?,?,?,?,?,?,?,n,x,n,取,0,lim,?,?,?,n,n,x,;,0,?,n,x,且,?,?,2,1,4,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

17、,?,n,x,n,取,0,lim,?,?,?,?,n,n,x,;,0,?,?,n,x,且,?,n,x,n,n,n,sin,lim,1,sin,lim,?,?,?,?,?,而,1,?,?,2,1,4,sin,lim,1,sin,lim,?,?,?,?,?,?,?,n,x,n,n,n,而,1,lim,?,?,?,n,二者不相等,.,1,sin,lim,0,不存在,故,x,x,?,0,?,x,y,1,sin,?,四、小结,函数极限的统一定义,;,),(,lim,A,n,f,n,?,?,?,;,),(,lim,A,x,f,x,?,?,?,;,),(,lim,A,x,f,x,?,?,?,;,),(,li

18、m,A,x,f,x,?,?,?,;,),(,lim,0,A,x,f,x,x,?,?,;,),(,lim,0,A,x,f,x,x,?,?,?,.,),(,lim,0,A,x,f,x,x,?,?,?,.,),(,0,),(,lim,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,x,f,A,x,f,恒有,从此时刻以后,时刻,(,见下表,),过,程,时,刻,从此时刻以后,?,?,n,?,?,x,?,?,x,?,?,x,N,N,n,?,N,x,?,N,x,?,N,x,?,?,),(,x,f,?,?,?,A,x,f,),(,0,x,x,?,?,?,?,?,?,0,0,x,x,?,?,0,x,x,?,?,0,x,x,?,?,?,?,0,0,x,x,0,0,?,?,?,?,?,x,x,过,程,时,刻,从此时刻以后,),(,x,f,?,?,?,A,x,f,),(,思考题,试问函数,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,5,0,10,0,1,sin,),(,2,x,x,x,x,x,x,x,f,在,0,?,x,处,的左、右极