2011年高三数学(理科)一轮复习讲义4.7正弦定理余弦定理应用举例

1、2011年高三数学（理科）一轮复习讲义：4.7 正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1（7分）在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（）AmBmCmDm2（7分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）A5海里B5海里C10海里D10海里3（7分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为（）Aa

2、kmBakmCakmD2akm4（7分）一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A海里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时5（7分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A20（+）海里/小时B20（）海里/小时C20（+）海里/小时D20（）海里/小时6（7分）线段AB外有一点C，ABC=60，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50

3、 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_ h后，两车的距离最小（）AB1CD2二、填空题（共3小题，每小题6分，满分18分）7（6分）（2010湖北模拟）在ABC中，BC=1，B=，当ABC的面积等于时，tan C=_8（6分）（2009海淀区一模）在ABC中，AC=，BC=2，B=60，则A=_，AB=_9（6分）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里三、解答题（共3小题，满分40分）10（13分）如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引

4、平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=，求POC面积的最大值及此时的值11（13分）在ABC中，已知，（）求的值；（）若ABC的面积为4，AB=2，求BC的长12（14分）在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间2011年高三数学（理科）一轮复习讲义：4.7 正弦定理、余弦定理应用举例参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1（7分）在2

5、00 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（）AmBmCmDm考点：解三角形的实际应用 专题：计算题分析：先画出简图，然后从塔顶向山引一条垂线CM，根据根据直角三角形的正切关系得到AB=BDtan60，AM=CMtan30，进而可得到AM的长，再相减即可解答：解：依题意可得图象，从塔顶向山引一条垂线CM则AB=BDtan60，AM=CMtan30，BD=CMAM=所以塔高 CD=200=m故选A点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题属基础题2（7分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南

6、偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）A5海里B5海里C10海里D10海里考点：解三角形的实际应用 专题：计算题分析：如图，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度解答：解：如图，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10（海里/小时）故选C点评：本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用3（7分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，

7、灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为（）AakmBakmCakmD2akm考点：在实际问题中建立三角函数模型 专题：计算题分析：先根据题意确定ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值解答：解：由图可知，ACB=120，由余弦定理cosACB=，则AB=a（km）故选B点评：本题主要考查余弦定理的应用正弦定理和余弦定理在解三角形和解决实际问题时用的比较多，这两个定理及其推论，一定要熟练掌握并要求能够灵活应用4（7分）一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（

8、）A海里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时考点：解三角形的实际应用 专题：应用题分析：根据题意可求得MPN和，PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案解答：解：由题意知MPN=75+45=120，PNM=45在PMN中，由正弦定理，得=，MN=68=34又由M到N所用时间为1410=4（小时），船的航行速度v=（海里/时）；故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和解决问题的能力5（7分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测

9、得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A20（+）海里/小时B20（）海里/小时C20（+）海里/小时D20（）海里/小时考点：解三角形的实际应用 专题：计算题分析：由题意知SM=20，SNM=105，NMS=45，MSN=30，MNS中利用正弦定理可得，代入可求MN，进一步利用速度公式即可解答：解：由题意知SM=20，NMS=45，SM与正东方向的夹角为75，MN与正东方向的夹角为，60SNM=105MSN=30，MNS中利用正弦定理可得，MN=货轮航行的速度v= 海里/小时故选：B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数

10、学知识进行求解6（7分）线段AB外有一点C，ABC=60，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_ h后，两车的距离最小（）AB1CD2考点：函数模型的选择与应用；余弦定理 专题：计算题；作图题分析：如图：设th后，两车距离最小，则：求两车D，E的距离最小，可以转化为在BDE中，已知BD，BE，B求DE，用余弦定理即可解答：解：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则t2.5，AD=80t，BE=50t因为AB=200，所以BD=20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2=BD2+

11、BE22BDBEcos60=（20080t）2+2500t2（20080t）50t=12900t242000t+40000二次函数求最小值即当t=时，DE最小 故答案为：C点评：本题考查建立数学模型的能力，根据题意，建立三角形，由余弦定理，得二次函数模型，求二次函数的最值问题，是基础题二、填空题（共3小题，每小题6分，满分18分）7（6分）（2010湖北模拟）在ABC中，BC=1，B=，当ABC的面积等于时，tan C=考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题分析：先利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得cosC的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后

12、利用商数关系求得tanC的值解答：解：SABC=acsinB=c=4由余弦定理：b2=a2+c22accosB=13cosC=，sinC=tanC=2故答案为：2点评：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用应熟练记忆同角三角函数关系中的平方，倒数和商数关系8（6分）（2009海淀区一模）在ABC中，AC=，BC=2，B=60，则A=，AB=考点：正弦定理 专题：计算题分析：先通过正弦定理求出sinA进而求出A（注意A的范围）；再根据求出的A和余弦定理求出AB的值，注意根据角的大小对结果进行取舍解答：解：根据正弦定理sinA=2=A=45或135BCACABA=根据余弦定理B

13、C2=AC2+AB22ACABcosA即4=6+AB22AB求得AB=C=180AB=75BAABBCAB=故答案为，点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解决三角形的问题时，常用这两个定理对边角进行互化9（6分）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向30才能追上乙船；追上时甲船行驶了a海里考点：解三角形的实际应用 专题：计算题分析：由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=tv，B=120，在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解解答：解：如图

14、所示，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=tv，B=120，由正弦定理知，sinCAB=，CAB=30，ACB=30，BC=AB=a，AC2=AB2+BC22ABBCcos120=a2+a22a2=3a2，AC=a故答案为：北偏东30，a点评：此题考考查了学生对于题意及方位角的概念的理解，还考查了利用正余弦定理求解三角形，还考查了学生的计算能力三、解答题（共3小题，满分40分）10（13分）如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=，求POC面积的最大值及此时的值考点：已知三

15、角函数模型的应用问题 专题：计算题分析：根据CPOB求得CPO和和OCP进而在POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（）利用两角和公式化简整理后，利用的范围确定三角形面积的最大值解答：解：因为CPOB，所以CPO=POB=60，OCP=120在POC中，由正弦定理得=，=，所以CP=sin又=，OC=sin（60）因此POC的面积为S（）=CPOCsin120=sinsin（60）=sinsin（60）=sin（cossin）=（sincossin2）=（sin2+cos2）=cos（260），（0，60）所以当=30时，S（）取得最大值为点评：本题主要考查了三角函

16、数的模型的应用考查了考生分析问题和解决问题的能力11（13分）在ABC中，已知，（）求的值；（）若ABC的面积为4，AB=2，求BC的长考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 专题：计算题分析：（）根据正弦的二倍角公式和内角和为180化简原式，然后将cosA的值代入即可；（）根据同角三角函数基本关系由cosA求出sinA，然后根据三角形的面积公式求出b与c的积，然后利用余弦定理求出BC即可解答：解：（）（）在ABC中，由SABC=4，得，得bc=10，c=AB=2，b=5，点评：考查学生应用三角函数中的恒等变换的能力，以及掌握三角形面积公式的能力，运用余弦定理解直角三角形的能力12（14分）在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间考点：解三角形的实际应用 专题：应用题分析：设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在ABC中利用余弦定理求得BC，进而在BCD中，根据正弦定理可求得sinBCD的值，进而求得BD