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1、重构算法基础笔记,静蓉 13、1、28,第一章,第一节 简介 第二节 CT历史和展望 第三节 基本参数 第四节 基本断层技术 经典断层成像技术对人体被选中的感兴趣的断层清晰成像，使得这一层上方和下方模糊及几乎不可见,第一节,CT的基本思想 取一个理想的X射线源，它发出极细的笔束X射线，在其表面置一个检测器，测出X射线源发出的强度I，以及经过物体衰减以后达到检测器的X射线强度I，再将X射线源与检测器在观察平面内同步平移一定步数N。 每平移一步，均做同样测量。 如此得到易主数据。然后旋转一个小角度p，再同步平移N步，取新角度下的另一组数据。如此重复。 好处 排除无关截面对成像断面图像的干扰，彻底解

2、决投影重叠问题。 可以用计算机将感兴趣的区域的某些细节差别变换成可分辨的CRT上的灰度差异，解决密度分辨率低的问题。,第二节 历史和展望,起源： 雷唐反变换 可以从投影获得重建图像 医学应用： “用线积分表示一函数的方法及其在放射学上的应用” 第五代XCT： DSR 工业应用： 无损检测 农林 地球物理,第三节 基本概念,投影 CT数 与线性衰减系数有关 ，水的衰减系数为0 质量评价参数： 常常用模型作为原始图像 1、归一化均方距离判据d 2、归一化平均绝对距离判据r 3、最坏情况距离判据e 点扩散函数 线性移不变系统的响应时输入函数与系统点扩散函数的卷积 h（x,y）=v(x,y) 理想情况

3、 不等于时 ，函数底部必然扩展成裙边 线扩散函数 边扩散函数,第四节 经典断层投影成像术,纵轴直线断层成像术,第二章,第一节 反投影重建算法的物理概念 第二节 反投影重建算法的数学描述 第三节 正弦图 第四节 反投影重建算法的实现,反投影重建算法,第一节 反投影重建算法的物理概念,反投影重建图像的思想： 断层平面中的某一点的密度值可看做这一平面内所有经过该点射线（反投影）之和(的平均值) 整幅图像可看做搜有方向下的反投影累加而成。 反投影： 用某一视角y下的投影数据p沿着投影方向在整个空间均匀的抹一次，从而得到一个二维分布，并赋予密度的量纲这就是反投影。 伪迹： 经过反投影重建后的图像，原来像

4、素值不为零的点现在任然很突出，原来像素值为零的点现在像素值不再为零。 使重构图像更接近原图像，将数据除以投影的数目N（方向的数目|可能经过某点的最大射线数目）,第二节 反投影重建算法的数学描述,把经过某点的所有射线投影的平均值看做该点的密度值。 点扩散函数不完美，反投影重建算法具有星状伪迹,第三节 正弦图,要求对任意一点找出经过该地那的所有射线，从而得到该点的射线投影均值 正弦曲线经过的地方就是存贮器中的某一地址。,第四节 反投影重建算法实现,内插： 紧邻内插 nd or （n+1）d 线性内插 nd + （n+1）d-nd/d *rcos(a-m)-nd,第三章,第一节 概述 第二节 投影定

5、理 第三节 卷积反投影 第四节 Radon反变换 第五节 计算机实现,滤波反投影重建算法,第一节 概述,交换“滤波”和“反投影” 的执行次序，从而用更加简单的方法来去除伪迹 即： 在反投影重建以前把投影数据先行修正滤波，再把修正后的投影数据进行反投影运算。,第二节 投影定理,投影定理=中心切片定理,f(x,y)沿着y轴的投影的一维傅里叶变换给出了f(x,y)的二维傅里叶变换F(w1,w2)在w1轴上的值（或F(w1,w2)在w2=0上的值） 投影图像重建问题的流程： 1.采集不同视角下的投影 2.求出各自投影的一维傅里叶变换 3.将上述各切片汇集成图像的二维傅里叶变换 4.求二维傅里叶反变换得

6、到重建图像 投影定理的物理意义,中心切片定理的定义,密度函数f（x，y）在某一方向上的投影函数g （R）的一维傅里叶变换函数 G （p），是密度函数f（x，y）的二维傅里叶变换F（p，）在p，平面上沿同一方向过原点直线上的值。,中心切片理论,2、反投影法 反投影法(back projection)又称总和法，是利用投影数值近似地复制出值的二维分布。 基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均的分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。,反投影法,12/12/2020,12/12/2020,第三节 第一类滤波反投影：卷积反投影,把在固定视角下测得的投影P经过滤波

7、得到滤波后的投影G 在每一个视角下，把G反投射与该视角下的视线 将上一个步骤中的反投影值对所有的视角进行累加计算，得到重建的图像,第四节 Radon反变换,在投影之后，反投影运算之前，有两个环节：微分和滤波 滤波函数（滤波器的点扩散函数）： h(x) = 1/x 由于微分项的存在，公式对于投影P的微小误差会比较铭感。 而P是测量值，容易产生误差，故此方法未能得到应用,第五章,第一节 概述 第二节 迭代重建算法的基本问题 第三节 基本图像的选取 第四节 最优准则 第五节 ART 第六节 求解线性等式方程组的松弛法语SIRT 第七节 ART /SIRT与卷积反投影重建算法的比较,迭代重建算法,第一

8、节 概述,迭代法又叫做直接重建法，分为： ART（Algebraic Reconstruction Techniques） SIRT(Simultaneous Iterative Reconstruction Techniques) 迭代重建法是以“估计理论”作为坚实的数学基础的 缺点：速度慢，不能用硬件实现 将迭代法和反投影算法相结合： 1.在极短的时间间隔里面采集不完整的投影数据 2.利用迭代法补齐数据 3.用卷积反投影的方法重建图像,第二节 迭代重建算法的基本问题,射线的定义： 射线和（ray sum） i号射线经过j号像素中心则Rij=1 由P=RX中引入误差向量，变为P=RX+E。我

9、们先考虑到误差的因素给出一个估计的值，值得他在某一最优准则下达到最佳。 我们的问题就归结为：根据测量得到的矢量P 和等式P=RX+E ,估计图像矢量x 由主要的三个步骤来完成： 1.选取基本函数 2.选择最优准则 3.求出系数,第三节 基本图像的选取,像素基本图像: 把图像分成J个小方块 射线穿过者取值为1 缺点： 重建后的图像有不连续的边界，图像不光滑，有模型噪声。 双线性元基本图像 有限元法：先把感兴趣去分为有限个小单元多边形（这里用矩形）对每个多边形定义一个两变量的分段多项式函数，该函数在多边形外面取值为0.当单元多边形各节点上的值确定以后，利用分段多项式函数作为内插函数就可求得单元多边形内部的值。 这些具有“窄小底部的分段多项式”成为“有限元”，可以作为基本图像，一次构成总图像。 双线性元素b(x,y)构成了底部为四个像素大小的金字塔，整个图像可看成这些基本图像的线性组合。 优点：可以用有限个非零的展