(数学分析)第九章

1、.第九章 定积分（20学时）1 定积分概念教学目的要求： 掌握定积分的概念和几何意义，会用定义计算定积分.教学重点、难点：重点定积分的定义，用定义计算定积分. 难点不定积分定义的理解, 用定义计算定积分.学时安排: 2学时教学方法: 讲授法.教学过程:一 问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看两个实例。1曲边梯形的面积 设函数在闭区间上连续，且。则由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。

2、在区间内任取个分点，依次为 它们将区间分割成个小区间，。记为，即，。并用表示区间的长度，记，再用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间，上任取一点，作以为高，为底的小矩形，其面积为，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该 曲边梯形面积的近似值为。从而。2变力所作的功w 设质点受力f的作用沿轴由点移动到点，并设f处处平行于轴（如下图），同上述，有，而 。二 定积分的定义 定义1 设闭区间内有个点，依次为 ，将闭区间分成个小区间，记为，简记为，或并称为区间的一个分割。同时也用，并

3、记称为分割t的模。定义2 设是定义在上的一个函数，对于的一个分割精品.，任取点，并作和式。称此和式为在关于分割t的一个积分和，也称黎曼和。（注：积分和既与分割t有关，也与点的取法有关）。 又设是一个确定的实数，若对任给的，总存在，使得对的任意分割t，以及，只要，就有。则称函数在上可积或黎曼可积。数称为函数在上的定积分或黎曼积分，记作：其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，称为被积式，分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-由连续曲线及直线所围曲边梯形的面积。注：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关。例1 求由抛物线，及所围平面图形的

4、面积。解 （在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割t和特殊的点），如下图：取分割t为等份，并取，。则所为面积为：=。课堂练习：课后记:1、在讲完定积分的定义后,进一步得出,分析与有关,与分法t有关,若已知在区间可积,则任一积分和的极限都等于,所以用定义计算定积分可选一极限好求的积分和来计算定积分,为用定义计算定积分做一铺垫,效果不错.2、讲清分割、近似求和、取极限是一种数学思维方式，为定积分的应用打基础. 2 牛顿莱布尼茨公式教学目的要求： 掌握牛顿莱布尼茨公式及其证明并会用它计算定积分，会用定积分计算极限.教学重点、难点：重点记住牛顿莱布尼茨公式，会用定积分计算极限. 难点牛顿莱布尼茨公

5、式的证明, 用定积分计算极限.精品.学时安排: 2学时教学方法: 讲授法.教学过程:用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理9.1 若函数在上连续，且存在原函数，则在上可积，且这即为牛顿莱布尼茨公式，也常记为。注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如：在在上连续，在内可导，且。而只要在在上可积即可。注2：本定理对的要求是多余的。例 1 利用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分：1）（n为整数）； 2）（0ab）；3）；4）；5）.注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来

6、为某些特殊的极限。例 2 利用定积分求极限： .【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。课堂练习：p206t1（1）、（3）、（5）；p207t2（1）、（4）。3 可积条件教学目的要求： 掌握可积的必要条件和充分条件，会证明可积的必要条件.了解大和、小和的概念. 会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法逐步具有证明有关可积性问题的能力教学重点、难点：重点理解并熟记可积性定理的内容. 难点定理9.5和黎曼函数可积性的证明.学时安排: 4学时教学方法: 讲授法.教学过程:一 可积的必要条件定理9.2 若函数在上可积，则在上必有界。注：该定

7、理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。例1 证明狄利克雷函数在上有界但不可积。二 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 精品.设t=为对,b的任一分割。由在,b上有界知，它在每个上存在上、下确界： ,.作和，分别称为关于分割t的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，显然有。说明：与积分和相比，达布和只与分割t有关，而与点的取法无关。定理9.3 （可积准则）函数在上可积对，使得。设

8、，并称为在上的振幅，有必要时记为。则有。定理9. 函数在上可积对，使得。不等式或的几何意义：若函数在上可积，则下图中包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。三 可积函数类定理9.4 若函数为上的连续函数，则在上可积。定理9-5 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积。定理9.6 若是区间上的单调函数，则在上可积。注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。例2 试用两种方法证明函数在区间上可积。证明 方法1 利用定理9-6。 方法2 利用定理9-和定理9-5。课后记:1、定理9.2的证明中,为什么取有些学生还是不清楚,需解释一下.2、这节课的难点

9、是用可积准则证明可积函数类，为此，我在讲课的过程中引导学生总结规律，得出一般情况下用要证明，要么证明，要么证明有界，有一定的效果.精品.4 定积分的性质教学目的要求： 掌握定积分的性质及其证明方法，会用定积分的性质及其证明方法证明不等式等有关问题.教学重点、难点：重点定积分的性质和证明方法的运用. 难点利用积分的性质证明问题.学时安排: 4学时教学方法: 讲授法.教学过程:一 定积分的其本性质性质1 若函数在上可积，为常数，则在上也可积，且。即常数因子可从积分号里提出。（注意与不定积分的不同）性质2 若函数、都在上可积，则在上也可积，且有。性质3 若函数、都在上可积，则在上也可积。注意：一般地

10、 。性质4（关于积分区间的可加性） 函数在上可积，在与上都可积，此时有。规定1 当时，。规定2 当时，。注：有了这个规定后，性质4对的任何大小顺序都成立。性质5 设函数在上可积，且，则。例 设函数在上连续，且在不恒等于0，则。例1 证明：函数在上连续，且，则。推论（积分不等式性质）若函数和均在上可积，且，则。性质6 若函数在上可积，则也在上可积，且。注意：此命题的逆一般不成立，如函数。精品.例2 设，求。【解题要领】 对于分段函数的积分，通常利用积分区间的可加性来计算。二 积分中值定理定理9.7 （积分第一中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得。积分第一中值定理的几何意义： 如右图，若在上

11、非负连续，则在上的曲边梯形的面积等于以为高，为底的矩形的面积。 一般地，称为在上的平均值。例3 试求在上的平均值。定理9.8 （推广的积分第一中值定理） 若和都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得说明：当时，即为积分第一中值定理。注：事实上，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理中的点必能。课后记:1、积分的性质较多,分类记忆方法比较好.2、p217注意2中的这里取是因为p207题3要求连续.只给出,不说原因有一部分同学问为什么?5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）教学目的要求： 掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计

12、算定积分.了解泰勒公式的积分型余项.教学重点、难点：重点变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分. 难点变上限的定积分和它的分析性质的应用.学时安排: 4学时教学方法: 讲授法.教学过程:一 变限积分与原函数的存在性设在上可积，则对，在上也可积，于是，由， 定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，可定义变下限的定积分：，和统称为变限积分。精品.说明：由于 ，因此，只要讨论变上限积分即可。定理9.9 若在上可积，则在上连续。证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。定理9.10 （原函数存在定理） 若函数在上连续，则在上处处可导，且，。证

13、明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。定理9.11 （积分第二中值定理） 设在上可积。（1） 若函数在上单调递减，且，则，使得 。（2） 若函数在上单调递增，且，则，使得 。推论 设函数在上可积，函数在上单调，则，使得。【解题要领】 若函数在上单调递减，令，则对应用定理9-11即得；若函数在上单调递增，则对应用定理9-11即得。二 定积分的换元积分法和分部积分法定理9.12 （定积分的换元积分法）若函数在上连续，在上连续可微，且满足，则有定积分的换元积分公式： 。注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。例1 计算。【解题要领】 令或即可。例2 计算。【解题要领】 令，逆向应用换元积分公式即可。例3 计算。【解题要领】 先令，再令即可。定理9.13 （定积分的分部积分法） 若、为上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：精品. ，或 。例4 计算 例5 计算和。三 泰勒公式的积分型余项1.设函数在点的某邻域内有阶连续导数，令，则 。其中即为的泰勒公式的阶余项。由此可得，即为泰勒