极限与连续(修订)

1、第二章极限与连续我 在第一章已 介 ， 微 分 程研究的 象是函数， 而研究函数的工具就是极限。极限是微 分学的基本概念之一， 是微 分学各种概念和 算方法能 建立和 用的基 ，是区 于高等数学和初等数学的 著 志 .本章将 数列极限与函数极限的定 、 性 及基本 算方法， 并在此基 上介 与极限概念密切相关的函数 性的基本知 。 2.1 数列的极限极限概念是由于社会生 践中求某些 的精确解而 生的.早在公元 3 世 ，我国古代著名数学家刘徽曾提出用 内接正多 形的面 近似 算 面 的方法割 ， 就是极限思想在几何学上的 用。 有一 ，首先作 的内接正六 形，其面 A1 ；再作内接正十二 形，

2、其面 A2 ；再作内接正二十四 形，其面 A3 ； ， 下去，每次 数加倍，第n个内接正 62n 1 形的面 An （ nN）. ，就得到一系列正多 形的面 ：A1 ， A2 ， A3 ， .， An ， .它 构成一列有次序的数.当 n 越大，内接正多 形与 的差 就越小，从而以 An 作 面 的近似 也就越精确.但是无 n 取得如何大，只要 n 取定了，An 究只是正多 形的面 ， 不是 的面 .因此， 想当n 无限增大（ n , 作 n 于无 大），即内接正多 形的 数无限增加，在 个 程中，内接正多 形无限接近于 ，同 An 也无限 近于某个确定的数 ， 个确定的数 就理解 的面 .而

3、 个确定的数 在数学上称 上面 一列有次序的数（即数列） A1 ， A2 ， A3 ，.， An ，.当 n 的极限 . ，我 从直 上得到了数列极限的概念 .定 2.1 以正整数集 N 定 域的函数unf (n) 按 f (1), f (2),. f (n),. 排列的一列数，称 一个 无 数列 ， 称数列， un .其中 un 称 数列的通 或一般 ，正整数 n 称 数列 un 的下 .数列的例子：例 21 数列 1 ： 1， 1 , 1 ,.n2 332例 22数列 n1：2，34,.n23例 23数列 1( 1) n 1 ：2，0， 2,0,2 ,0,.n35例 24数列 (1) n

4、： -1，1，-1，1，.例 25 数列 n : 1,2,3,4,.观察上列数列会发现， 当下标 n 无限增大时 （记为 n），各数列取值的变化趋势大致可以分为两类：一类是当n时， un 无限趋近于某个确定的常数，如例 2.1、例 2.3 中的 un 无限趋近于数 0(记为 un0 ),例 2.2 中的 un 无限趋近于 1（ un1）.另一类数列则无此特点,如例 2.4、例 2.5 中的 un 不趋近于某个确定的常数 .一般，设有数列 un 和常数 A ，若当 n时， un 无限趋近于常数A ，则称A 为数列 un 的极限，或称数列 un 收敛于 A，记为lim un A或 unA （ n)

5、n如果数列 un 有极限，则称 un 是收敛的，否则称 un 是发散的 .如例 2.1、2.2、2.3 中的 un 都是收敛的，它们的极限分别为：lim1， limn 1， lim1 ( 1)n 1010nnnnnn而 2.4、2.5 中的 un 极限不存在，所以它们都是发散的.上面几例，仅仅对数列的极限作了一些直观的分析 .为了精确表明“无限增大”，“无限接近”的含义，我们对 lim 1 0 作进一步的分析。n n直观上看， 随着 n 的不断增大， un = 1 与 0 无限接近程度可以用un01nn小于某个正数来表示 .若令11 , 要使 un 0 1 10 时， un 都能10n满足与0

6、 的距离小于1 , 即对于 u10 以后的任意一项 u11 ， u12 ， .都能满足1010 1 ；如果再取一个更小的正数21 ，要使 un 0 1 100n10100n33以后的任意项u101，u102， 都能满足 11；.由此可见，对于 1，.n0 un=100n无论事先任意给定的正数多么小，在 n 无限增大的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，有 un010 .而存在的那个时刻如何确定？一般，n对于任意小的正数，要使 un010= 1 1=N（存在的时刻）nn时，数列 1 从第 N+1项起以后所有项 un 都能满足 10 0，总存在正整数N，使得当 nN 时，有不等式 unA

7、 0, 正整数 N,当 nN 时 ,有 un A N) 及以后 ,使unA 0，要使 n 1 111 1 1 即可 .nnn所以取 N=1，则当 nN 时，即 n 1 ，就有 n11 10, 要使( 1)n 2 012 1 1 -1(设 N 时，就有(1) n0 .(n1)2利用数列极限分析定义 ,可以证明下列两个数列极限 :(1)lim q n0( q 0)lim a nn12nn上述两个极限 ,有必要记住结论 .例如 :0 ,1limnlim ()0, lim 2 1,n2n3nlim ( 2) n11.n 32.2 函数的极限上节讨论了数列的极限，由于数列是定义域为正整数自变量为n 的函

8、数unf (n)nZ.所以，数列的极限实质是函数极限的一种特殊情形.本节将讨论函数 yf (x)的极限，主要研究以下两种情形：（ 1） 自变量 x 的绝对值 x 无限增大即趋于无穷大 （ x）时，对应的函数值35f ( x) 的变化情形；（ 2） 自变量 x 任意地接近于有限值 x0 （ xx0 ）时，对应的函数值 f ( x) 的变化情形 .一当 x时，函数 f ( x) 的极限讨论函数 f ( x)11 ，当 x 充分大时（即 x）， f (x) 无限地接近于 1，如图 2.2.x图 2.2.也就是说，当 x 无限增大时， f (x)1 可以任意地小 .即对于任意给定的0，要使 f ( x

9、)111111成立，只要 x 1 即可 .所以取一正数 M=1 ，xxx只要当 x M 时，就有 f ( x)111成立，此时，则称 x 趋于无穷大时，xMf ( x)11 以 1 为极限 .x定义 2.3设有函数 f (x) 和常数 A.如果对于任意给定的0，总存在正数 M ，使得当 x M 时，有不等式 f ( x)A 0,M0,当 x M时，有 f (x)A M, 即xxM 或 xM 时 ,函数的图形位于两条直线y A和 yA之间，如图2.3.36图 2.3与数列极限类似 , “ M ”定义中的描述 f(x) 与 A 的接近程度 ,M 刻划 x 充分大的程度 , M 随 而确定 .例 2

10、7 用分析定义证明极限 lim 10xx证 对0, 要使 1011,取 M=1,则当 x M 时，就有xx10 M 改为 xM 或者 xM ,则常数 A 就成为函数 f (x) 当x或者 x时的极限，记为 lim f ( x)A , lim f (x) Axx上述极限称为函数的左右极限 ,也可简记为 :limf (x)A0,M0,当 xM 时，有 f (x)A 0,M0,当 x-M时，有 f ( x)A 0，在x 1的某个空心邻域内，有f (x)42(x 21)2(x1)42 x 1 .这里，关键是找到以 x1为心x41的某个空心邻域 .由上式知，当 x1时，就有 f ( x)4，亦即满足不等

11、式2380x1的任意 x，都能使不等式 f ( x)4成立 .2由此，我们给出函数在某点极限的分析定义：定义2.4 设函数f ( x)在x0点某空心邻域内有定义 如果存在常数A，对任意.给定的正数，总存在正数，使得当 x满足 0x x0时，有不等式f ( x)A 0,0,当 0 xx0时，有 f ( x) A 0，要使 f (x)122(x 29)122 x3成立，x3只 要 x 32即 可 . 所 以 取=， 则 当 0 x 3时 ， 就 有2f (x) 122( x29)12恒成立，由定义2.4 知， lim 2( x29)12 .x3x 3x3例 29 证明 lim ccx x039证由

12、于 f ( x)Acc0 ，因此，对于任意给定的0，可取=，则当 0xx0时，就有 f ( x)A cc，所以， lim cc .xx0三左极限和右极限讨论 xx0 时函数 f ( x) 的极限为 A，是当自变量 x 不论是从 x0 左侧或 x0 的右侧趋近于 x0 时，函数 f (x) 都无限趋近于 A. 但是，有时我们只需考虑x 仅从 x0的左侧或仅从 x0 右侧趋近于 x0 .例如，函数 f ( x)1x 2 ，其定义域为 -1， 1，但点 -1 与 1 的任何邻域都不能完成包含在定义域内，因此，我们仅考察x 从 -1的右侧趋于 -1（记为x1）或者从1的左侧趋于1（记为x 1），由图

13、2.8 观察有： lim1 x 20 ， lim 1x20 ，x 1x1图 2.8上述极限称为函数f ( x) 的左极限、右极限 .定义 2.5 设函数 f ( x) 在（ a， x0 ）有定义 .如果存在常数 A ，对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当 x 满足 x0xx0 时，有不等式 f (x)A 0,某个时刻 ,在该时刻以后，有 f (x) 00，0, 当 0 x x0时，总有x x0f ( x) A，即 f (x)A 0由函数极限定义知，有 lim f ( x)A 0 ，x x0因此，当 xx0 时， f ( x)A 为无穷小量 .记f ( x) A ，则有 f ( x)A.充分

14、性设 f ( x)A，其中为 x x0时的无穷小量，即 lim0 .于x x0是，对0 ，0, 当 0 x x时， 总有 f ( x) A0，即0lim f ( x)A .x x0二无穷小量性质42性质 2.1 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量.例如 x时， 1 和1都是无穷小量，则当x时，ex2x1 1 也是无穷小量 . ex 2x性质 2.2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 .定义 2.7设函数f ( x)在x0点某空心邻域内有定义 如果存在正数M和，.当 0 x x0时，总有不等式f ( x) M 成立，则称当 xx0 时 f ( x) 为有界变量 .同样可以定义自变量其他变化趋势的有

15、界变量 .值得注意的是，有界变量针对某一过程而言，是一个局部概念，而有界函数是一个整体概念 .如 1 是 xx过程中的有界变量， 而当 x0 时就不是有界变量； 由于 sin x1，所以 sin x 是有界函数 .性质 2.3 有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量.例 212 求极限 lim (x sin 1 )x 0x解 因为 当 x 0 时，有 sin11，所以当 x 0 时 sin 1是有界变量；又当xxx0 时， x 是无穷小量，由性质2.3 知， lim ( x sin 1 )0 .x 0x三无穷小量的比较无穷小量虽然都是趋于0 的变量，但不同的无穷小量趋于0 的速度却不一定相同，它们

16、之间的比值极限也随之不同 .例如 当 x0 时，2都是无穷小量，但是它们趋于0 的速度却不一样，x,2x, x它们的比值的极限分别为lim x 1 ， lim xlim 1， lim x 2lim x0x 0 2x 2x 0 x 2x 0 xx 0 2xx 0 2通过上述无穷小量比值的极限情况， 可以比较无穷小量趋于0 的速度 .由此，我们引入无穷小量阶的概念 .定义 2.8 设,是同一过程中的两个无穷小量.如果 lim0 ，则称是比较高阶的无穷小量 ，记作o( ) .如果lim0与是同阶无穷小量 .特别，当 c1 时，c （ c 为常数），则称43称与是等价无穷小量，记作.如果 lim，则称

17、是比较低阶的无穷小量 .如上面的讨论，当 x0 时， x 2 是比 x 较高阶的无穷小量， x 与 2x是同阶无穷小量 .四无穷大量讨论当 x1 时，下列函数变化情况：函数f (x)1的绝对值无限增大；x1函数 g (x)1恒为正值，且其值无限增大；函数h(x)1恒为负值，1)2( x 1) 2( x且其绝对值无限增大 .所以，当 x1时，上述三个函数的极限均不存在，但它们却具有共同特点，当 x 1时其函数的绝对值无限增大， 这样的函数称为当 x 1时的无穷大量 .定义 2.9在自变量的某一变化过程中，若函数f (x) 的绝对值无限地增大，则称 f ( x) 为无穷大量 .记为 lim f (

18、 x)或 f ( x).例如 lim1， lim12， lim lg x， lim 2 x.x 1x1x 1( x1)x 0x注意（ 1）无穷大量是相对于某一过程而言的1.比如， x 1，函数 f (x)是无穷大量，但 x0 时就不是无穷大量了 .x 1（ 2）无穷大量定义对函数极限的六种形式和数列极限也适用.例如 lim n 3， lim (2 n 2 ).nn无穷大量与无穷小量之间有着密切的关系，在同一变化过程中：无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量（不取0 值）的倒数是无穷大量 .即有（ 1） 若 lim f (x)，则 lim10；f (x)（ 2） 若 lim f ( x)0（ f (

19、 x)0 ），则 lim1.f ( x)例 如因 为 lim2x， 所 以 有 lim10; 由 lim ( x21) 0， 有2xxxx 11lim.x 1 x2144 2.4 极限的性质一极限的性质性质 2.4（唯一性）若极限 lim f ( x) 存在，则极限值唯一 .性质 2.5（有界性）若极限 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 在该过程中有界 .极限性质对极限的其它情形均成立.为方便叙述和证明，以下性质仅给出当x x0 的情形 .性质 2.6（保号性）若 lim f ( x) A ，且 A0 （或 A 0 ），则在 x0 的某空心邻域x x0内恒有f (x)0 ，（或 f

20、 ( x) 0 ）性质 2.7 若 limf ( x)A ，且在 x0 某空心邻域内恒有 f ( x)0 （或 f ( x) 0），则x x0A0 （或 A 0）.二极限的四则运算法则我们可以利用极限定义去证明某个常数是否是某个函数的极限，而不能用极限定义求出函数的极限 .那么，怎样求一个函数的极限呢？下面，我们介绍函数极限的运算法则，并通过极限运算法则可以求一些函数的极限.定 理2.3 如 果 l i mf (x) = A ， lim g ( x) = B 则 极 限 lim f ( x)g( x) 和lim f (x)g ( x) 也都存在，且有lim f (x)g( x)lim f (

21、x)lim g(x)ABlim f (x) g(x)lim f ( x)lim g( x)AB证 因为 lim f (x) = A ， lim g( x) = B ，则由定理2.2 有 f ( x)A, g( x)B,（,都是无穷小量），于是有f ( x)g( x)( AB)()f ( x)g( x)( A)(B)AB( AB)由无穷小量的性质可知，() 和 ( AB) 都是无穷小量，又由定理2.2 有lim f ( x)g(x)lim f ( x)lim g(x)ABlim f ( x) g(x)lim f ( x)lim g( x)AB45推论 2.1 若 lim f ( x) 存在， C

22、 为常数，则有 lim cf ( x)c lim f (x) .即常数因子可以提到极限符号外面.推论 2.2 设 lim f1 (x)， lim f 2 ( x) ，. lim f n (x) 都存在， c1 ,c2 ,.cn 为常数，则有lim c1 f1 ( x)c2 f2 ( x).cn fn ( x)c1 lim f1 ( x)c2 lim f 2 ( x).cn lim f n (x)推论 2.3 设 lim f ( x)A ， n 为正整数，则有lim f ( x) nlim f ( x) nAnx0 n , 还可以证明， lim11例如 limxnx nx0 n .x x0x x0定理 2.4 设 lim f ( x) = A ， lim g( x) = B ，且 B0 ，则极限 limf (x) 也存在，g( x)且 lim f ( x)lim f (x)A .g (x)lim g(x)B下面利用函数极限运算法则求函数极限 .例 2 13 求极限 lim x2x 1x 2解 由极限运算法则，得lim x 2x1l im x2l