中学数学中的第三个数学绝世奇迹

1、中学数学中的第三个数学绝世奇迹数学中的“帕巴拉神庙”（到底有多少个解法？）用分角定理 作出一题千解 （一题千解， 古今唯一）2019 年全国高中联赛加式题。已知：四边形ABCD，对角线AC平分 BAD，F 为 AC上一点， BF 交 DC于 E，DF交 BC于 G。求证： CAG=CAE（一） 。添线有多解。用分角定理，不添线，就能作出很多异想天开的解法。如何发现出来？图明示：有很多三角形及分角线、对顶角、互补角，可用分角定理，变出很多边角关系，进行代换。特别是解题实践体会，可能有千多个不同解法。都是不添线，只列一式。分角定理：三角形中的一角被一直线内分（或外分） ，又分对边为两线段时，则：两

2、线段之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角的两条不重合边之正比。还可转化出很多不同的表述。如图 . 。 ABC， AD内分 BAC，则有：（BD/CD） =（ sin BAD/sin CAD）（ AB/AC）。ABD， AC外分 BAD，则有：（BC/BD）=（ sin BAC/sin BAD）（ AC/AD）。（解一）设 AG交 BF 于 H，AE交 DF于 M，又设 CAG=CAE= （二）， CAG= CAE=， BAG=， DAE=。第 1页AFB=CFE=1， BFG=DFE=2， AFD=CFG=3，BGH=4，ABH=5， GBH=6， CDF=7， ADF=8，AGF=

3、9， AHF=10， AED=11， AEF=12，AMF=13， CGF=14， CEF=15， ACG=16，ACE=17。由 1（ AB/AB）（ AD/AD）=（ AB/BG）（ DE/AD）（BG/CG）（ CE/DE）（ CG/CE）（ AD/AB） =(sin 4/sin ) (sin /sin 11) (sin 2/sin 3) （ BF/CF） (sin 1/sin 2)（ CF/DF）（ CG/CE）（ AD/AB）(sin /sin ) (sin 4/AB) (AD/sin 11) (sin 1/sin 3)（ BF/CF）（ CF/DF）（ CG/CE）=(sin B/

4、AG)(AE/sin D)(sin 1/sin 3) (sin 16/sin 6) (sin 7/sin 17) （ CG/CE） =(sin B/AC)(AC/sin D)（ CG/AG）（ AE/CE） (s in 1/sin 3) (sin 16/sin 17) (CF/sin 6) (sin 7/CF)=(sin /BC) (CD/sin ) (sin /sin 16) (sin 17/sin ) (sin 1/sin 3)(sin 16/sin 17)(BC/sin 1)(sin 3/CD)第 2页=(sin /sin ) sin sin =sin sin 。由 sin sin =s

5、in sin ，由（二） sin （） sin =sin sin （）sin sin cos sin cossin = sin sin cossin cossin sin cos=sin cos tan =tan ，由 、 /2 =。所以 CAG=CAE。证毕。由此可见，只要证明了（ sin /sin ） =（sin /sin ） ，或 sin sin =sin sin ，就行。（解二）接（解一） ：由 1=（ AF/AG）（ AG/AC）（ AE/AF）（ AC/AE）=(sin 9/sin 3。) (sin 16/sin 4。) (sin 1。/sin 12) (sin 11。/sin 1

6、7)=(sin 9/sin 4) (sin 11/sin 12) (sin 16/sin 3) (sin 1/sin 17)=(sin 9/sin 4) (sin 11/sin 12) （FG/CG）（ CE/EF ） =（BG/CG） (sin 9/sin 4)（ FG/BG） (sin 11/sin 12) 第 3页（ DE/EF）（ CE/DE） =（BG/CG）（ FH/BH）（ DM/MF）（ CE/DE）=(sin 2/sin 3)（ BF/CF）（ FH/BH）（ DM/MF）(sin 1/sin 2) （ CF/DF）=(sin 1/sin 3) （ BF/BH）（ DM/DF

7、）（ FH/MF）=(sin 1/sin 3) (sin /sin ) （ AF/AH） (sin /sin ) （ AM/AF）（ FH/MF） =(sin 1/sin 3) (sin /sin ) （ AM/MF）（ FH/AH） =(sin 1/sin 3) (sin /sin ) (sin 3/sin ) (si n/sin 1)=(sin sin )/(sin sin )=1 。由解。证毕。（解三）由（ DF/DM）（ BG/BC）（ AH/GH）（ ME/AE）（ AC/AF）=(sin /sin ) （ AF/AM） (sin 2/sin 1。) （ GF/CF） (sin 2/

8、sin 1。 ) （GF/CF）(sin 1/sin 2)（ AF/GF） (sin 2/sin 1。) （MF/AF）（ AC/AF）=(sin /sin1)(DE/sin ) (sin 2/DE)（ MF/AM）（ AC/CF）=(sin /sin1)(AD/sin 11) (sin 15。 /DF) (sin /sin 3) (sin 15。第 4页/DF) (sin /sin 3) (sin 11/sin 15)（ AE/EF=）(sin 1/sin )=(sin /sin 3) （ AD/DF）=(sin /sin 3) (sin 3/sin )=1 。由 1=（ DF/DM）（ B

9、G/BC）（ AH/GH）（ ME/AE）（ AC/AF）=(sin /sin ) （AF/AM）(sin /sin ) （ AG/AC） (sin 1/sin 2) （ AF/GF） (sin 2/sin 1。 ) （MF/AF）（ AC/AF）=(sin /sin )（ AG/GF）（ MF/AM） =(sin /sin ) (sin 3/sin ) (sin /sin 3)=(sin /sin ) (sin /sin )=1 。由解。证毕。（解四）由1(sin 3。/sin 2) （CF/EF） (sin 1/sin 3。) （ FH/FG） (sin 2/sin 1。 )（ GF/CF）（ EF/FH） =（ CD/DE）（ AH/AG）（ BG/BC）（ EF/FH）=(sin /sin ) （ AC/AE）（ AH/AG） (