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文档简介
1、.,1,三角函数线,.,2,初中锐角三角函数是如何定义的?,O,M,P,sin=,cos=,tan =,当OP=1时,sin=MP,cos =OM,复习引入,.,3,设P(x,y)是终边上任一点,线段0P的长度为 r,复习:任意角三角函数的定义,比值叫做的正弦, 记作,即,比值叫做的余弦, 记作,即,比值叫做的正切, 记作,即,x,角的终边,.,4,1.设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),角的三角函数是怎样定义的?,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何?,一全正,二正弦,三正切,四余弦.,3.公式 , , ( ).其数学意义如何?,终边相同的角的同名三角函数值相等.,4.角
2、是一个几何概念,同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数,如果能从图形上找出三角函数的几何意义,就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任意角三角函数值?,.,5,新课讲授,一、单位圆:,1、定义:一般地,我们把半径为1的圆称为单位圆。,2、单位圆与x轴的交点: 单位圆与y轴的交点:,(1,0)和(-1,0),(0,1)和(0,-1),3、正射影:过P作PM垂直X轴于点M, PN垂直Y轴于点N,则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影,A,T,.,6,正弦线和余弦线,问题1:如图,设角为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 , 都是正数,你能分别用一条
3、线段表示角的正弦值和余弦值吗?,.,7,问题2:若角为第三象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 , 都是负数,此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示?,正弦线和余弦线,.,8,为了简化上述表示,我们设想将线段的两个端点规定一个为始点,另一个为终点,使得线段具有方向性,带有正负值符号.根据实际需要,我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向,反向时为负方向.,规定了始点和终点,带有方向的线段,叫做有向线段.由上分析可知,当角为第一、三象限角时,sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示,即MP= sin,OM=cos,那么当角为第二、四象限角时,你能检验这个表示正确吗?,.,9
4、,思考:设角的终边与单位圆的交点为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称有向线段MP,OM分别为角的正弦线和余弦线.当角的终边在坐标轴上时,角的正弦线和余弦线的含义如何?,.,10,思考:设为锐角,你能根据正弦线和余弦线说明sincos1吗?,MPOMOP=1,.,11,正切线,问题1:如图,设角为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 是正数,用哪条有向线段表示角的正切值最合适?,.,12,问题2:若角为第四象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 是负数,此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适?,正切线,.,13,思考:若角为第二象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),
5、则 是负数,此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适?,.,14,思考:若角为第三象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则 是正数,此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适?,.,15,思考:根据上述分析,你能描述正切线的几何特征吗?,过点A(1,0)作单位圆的切线,与角的终边或其反向延长线相交于点T,则AT=tan.,.,16,思考:当角的终边在坐标轴上时,角的正切线的含义如何?,当角的终边在x轴上时,角的正切线是一个点;当角的终边在y轴上时,角的正切线不存在.,.,17,思考:观察下列不等式: 你有什么一般猜想?,.,18,思考:对于不等式 (其中为锐角),你能用数形结合思想证明吗?,.
6、,19,例练讲解,例1、分别作出2/3和-3/4的正弦线、余弦线和正切线,解:在直角坐标系中做单位圆,以OX轴为始边作2/3 的终边与单位圆交于P1点,作P1M1OX轴,垂足为M1,由单位圆与OX正方向的交点A作OX轴的垂线与OP的反向延长线交于T1点,则Sin(2/3)=M1P1=ON1, Cos(2/3)=OM1, Tan(2/3)=AT1,.,20,例2设是任意角,作的正弦线、余弦线、正切线, 由图证明下列各等式: (1)sincos1 ;,证明:(1)若角终边落在象限内,由 图可知sincos =ON+OM=PM+OM =OP=1 若角的终边落在轴上 则|sin|和|cos|必有一个为
7、1,另一个为0, sincos1,象限角,轴角,.,21,证明:tan=MP/OM =sin/cos,(2)tan=sin/cos;(是锐角),(3)|sin|+|cos|1,证明:若角终边落在象限内, 由图可知,OPM中 |MP|+|OM| |OP|=1 (三角形两边之和大于第三边) 若角 终边落在轴上, |MP|和|OM|必有一个为1,另一个为0 |MP|+|OM|=1 而|MP|=|ON|=| sin|,|OM|=| cos| 故|sin|+|cos|1,象限角(2),象限角(3),轴角(3),.,22,返回目录,例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合: (1
8、)sin ; (2)cos- .,【分析】作出满足sin= ,cos=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.,.,23,【解析】 (1)如图,作直线y= 交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为,返回目录,.,24,返回目录,(2)作直线x=- 交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为,【评析】本题的实质是解三角不等式的问题: (1)可以运用单位圆及三角函数线; (2)也可以用三角函数图象. 体现了数形结合的数学思想方法.,.,25,例3 在0 内,求使 成立的的取值范围.,.,26,例4 求函数 的定义域.,.,27,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示,即用有向线段表示三角函数值,是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.,5.利用三角函数线处理三角不等式问题,是一种重要的方法和技巧,也是一种数形结合的数学思想.,课堂小
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