2001年秋季初二竞赛班 轴对称1练习题

1、 轴对称1练习题 2011-9-10题1 （第一届“祖冲之杯”初中数学竞赛题）如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，且ACBD，已知OAOC，OBOD.求证：BCADABCD.证明 在线段OA上取C关于BD对称点C，在线段OB上取D关于AC的对称点D，连CD，AD，BC，则CDCD，BCBC，ADAD.在ABE中，BEAEAB在DCE中，DECECD得：BCADABCD，BCADABCD.题2 (1999年北京市初中竞赛试题)如图所示, 正方形纸片ABCD中, E为BC中点, 折叠正方形, 使点A与点E重合, 压平后得拆痕MN. 设梯形ADMN的面积为S1, 梯形BCMN的面积为S2

2、, 求的值. 解 连结AE, 则折痕MN垂直平分AE. 若连结EN, 则ENAN. 设正方形边长为1, NBx, 则EN1x, BE. 由勾股定理, 得(1x)2x2. 解得x. 又AE. 过N作NFDC于F, 在RtABE和RtNFM中, ABNF, 12(都是MNA的余角), RtABERtNFM. NMAE.MF.MC, DM. 题3 等腰三角形ABC中，AB= AC,A=100，BE是ABC的平分线，求证：AE+ BE=BC证法1 由已知条件不难算出：1=2=20，5=60，7=40 延长BE到G，使BG=BC，连结CG，不难得到G=80，8=40,6=60。 在BC上截取BF=BA，

3、连结EF，易证ABEFBE,从而3=5=60，EF=AE在EFC与EGC中，4=180-（5+3）=60=6，CE=CE，7=8，故EFCEGC，EF=EG，从而EG=AE AE+BE=EG+BE=BG=BC.证法2 由已知条件可以算出：1=2=20，5=60,C=40，在BC上截取BG=BE，连结EG，计算后可知7 =BEG=80，4=7-C=40，于是4=C，EG=GC 又在BC上截取BF=BA，连结EF.显然ABEFBE，从而5=3，于是3=60，又AE=EF. 因6=3+1=60 +20= 80 =7，故EF=EG，从而AE= GC AE+BE=GC+BG=BC.证法3 在BC上截取B

4、G=BE，连结EG易求得4=40，7=80，从而5=100=A 过E作EFBC交AB干F，显然AEF也是等腰三角形，从而AF=AE，于是有FB=EC.又3=1=2，故有 EF=FB.又6=ABC= 40=4，所以AEFGEC，故有AE=GC AE+BE=GC+BG= BC.证法4 延长BE到G，使EG=EA.不难算出1=2=20，4=60。，从而G=5=300， 再过A作AMBC，M为垂足，由等腰三角形性质知M是BC的中点 连结GA，过B作BNGA，垂足为N，GBN=90-G=60，3= GBN-2=60-20=40 =ABC.又AB是公共边，故有RtABNRtABM，从而BN=BM.但BN=

5、BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.题4（2001年广西“创新杯”初中数学竞赛试题）在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当点M的横坐标的值是多少时，MPMQ的值最小？解 作点Q关于x轴的对称点（2，1）。设直线PR为ykxb，则有 解得所以直线PR的解析式为y2x5。令y0，解出x即为所求。下面证明点M0（，0）使MPMQ取最小值。设PR与x轴的交点为M0（，0），在x轴上任取一点M，因为点Q关于x轴的对称点为R，易知x轴垂直平分QR，于是M0QM0R，MQMR，由三角形三边关系，知MPMRPR，而PRPM0M0RM0PM0Q，所以MPMQM0PM0Q。即M0（，0）使MPMQ取最小值。题5如图，平行线a,b是一条灌溉渠道的两岸，A，B是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，问此桥应该架在何处？15过A点作a