全国优秀案例任意角的三角函数教学设计案例

1、 全国优秀案例任意角的三角函) 数教学设计案例 任意角的三角函数 陈正泉 一、教学内容解析 这是一堂关于任意角的三角函数的概念课 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想三角函数是又一种基本初等函数

2、，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键 二、教学目标解析 1借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义： （1）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数； （2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数； （3）知道三角函数是研究一

3、个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 2在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题 三、教学问题诊断分析 1学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系 2学生在理解将终边上任意一

4、点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取 点的位置的改变而改变 学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，3还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，

5、 不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数 四、教学支持条件分析为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系 表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维 五、教学过程设计 （一）教学基本流认识复习进一步 （二）教学情景 1复习锐角三角函数的定义问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数如图1，在直角POM中，M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O的正弦、余弦和正切分别是什么？ P O M 图 设计意图：

6、帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义 师生活动：教师提出问题，学生回答 2认识任意角三角函数的定义 问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？ ：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数设计意图 利用下列问题引导学生进在教学中，可以根据学生的实际情况，师生活动： 行思考： ）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？1（ 以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数那么可以进一步提出下如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义， 列问题来启发学生进行思考：）在上节教科书中，将锐角

7、的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪2（ 里进行研究的？进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数在此基础上， 组织学生讨论： 的三角函数呢？3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角yPx O 图 如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长OP4（）终边是 象限又该怎么办？I的终边不在第，如果角3来定义吗？如图 yPxO 图 ）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把（5我们还是回到锐角三角函数的问题上，点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表

8、示定义式中的三条 边长呢？ 渗透数形结合的思想 ）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？6（ ：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？问题3 ：为引入单位圆进行铺垫设计意图在学生不能正确回答时，可组织学生展开讨论：教师提出问题后，师生活动 可启发他们思考下列问题：弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半）我们在定义1（1 径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？它的函数值是由什么决定的？那么，siny（2）对于一个三角函数，比如能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪当一个角的终边位置确定以后， 一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？ 加强

9、与几何的联系 4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？问题进一步给出引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，：设计意图 任意角三角函数的定义 师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理的三个三角函数值其实就是要求角问题5：根据任意角三角函数的定义， 分别是求什么？ 用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了：让学生从中体会，设计意图 定义式，还更能突出三角函数概念的本质 ：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值师生活动31，（），求角1例：已知角的终边经过点P的正弦、余弦和正切22 值让学生学习如何利用定义求不通过变式，从最简单的问题入手，设计意图：加强定义

10、应用中与几何的联系，进而加深对定义的理解，同情况下函数值的问题， 体会数形结合的思想可通过下列变式引导学生对三角函数的概师生活动：在完成本题的基础上， 念作进一步的认识：5的正弦、余弦和正切值 变式1：求3变式2：已知角的终边经过点P（3，4），求角的正弦、余弦和正切值 3进一步理解任意角三角函数的概念 问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？ 设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数

11、的概念 ：学生求出定义域，教师进行整理师生活动 问题7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化：通过定义的应用，设计意图 规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想 师生活动：学生回答，教师整理 ?,?sin0? 为第三象限角；（1）当不等式组成立时，角例2：求证：?0?tan?,sin0? 成立2）当角为第三象限角时，不等式组（?0tan?熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，通过问题的解决，设计意图： 并进一步理解三角函数的概念作变式可视情况改变题目的条件或结论，师生活动：在完成本题的基础上， 训练：既然我们知道了三角函数的函数值是

12、由角的终边的位置决定的，那问题8么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数 值又将怎样变化？ 设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想 师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成 ：先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：3例911?672?（4） cos） ） ； （2cos 3； （3 tan；）（1sin ?64?设计意图：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念 师生活动：先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题 4练习 1填表： 角0

13、30456090180270360 角的弧度 数 sin co s tan ?中，有可能取tan，cos ，tan 是三角形的一个内角，在2设sin 2 负值的是 “”填空：“”，17?450? tan2） 0； 0； 1（）cos （?8?4? 0； （4）（3）sintan 556 0 ? 3? 4选择sin 0， sin 0， cos 0， tan 0中适当的关系式的序号填空： ，反之也对； 为第一象限角时，）当角1（ ，反之也对； ）当角（2为第二象限角时， ，反之也对； （3）当角为第三象限角时， ，反之也对 4）当角为第四象限角时， （ 7 的正弦、余弦和正切值5求 6 的正弦、余

14、弦和正切值），求角P已知角的终边经过点（12，56 ：7求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）1931?tan ）； （ ；（3）sin（）（1cos 1 109； 2）tan4?050 ?1?43?设计意图：通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解 师生活动：根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容作具体调整 5小结 问题9：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？ 设计意图：回顾和总结本节课的主要内容 师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点 问题10：今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？