九年级数学一元二次方程

1、第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为X2 bb 0或x a2 b的形式的方程求解。当b 0时， 可两边开平方求得方程的解；当b 0时，方程无实数根。2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0； （2）将方程另一边 分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一 元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（ 2）移项，

2、 使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一 次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）2 n的形式（5）如果右 边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1 ）将方程化为一般形式 ax2 bx c 0，确定a、b、C的值；（2）计算b2 4ac的值并判别其符号；2（3）若b2 4ac 0，则利用公式x b b 4aC求方程的解，若2ab2 4ac 0，则方程无实数解。【典型例题】（1） 6x2 7x 3 0 （用因式分解法）(2) 3x24x 1 (用公式法)解：3x24x 10(3) 2x22x 30 0 (用配方法)解：

3、x2x 152【经典练习】一、直接开方法(x a)2b(2) 3x2 4x 1(1)(x 1)2(12x)2二、配方法注：(1)2x2 2x 30 0二、公式法1.用求根公式法解下列方程(1)x2x20 ；解：2y28y10 ；解：22x3x180 ；解: 3y2 2y 1 ；解:2(5) 2x 5x 10 ；解:(6) x22 .5x 3 0 ;解:2(7) 3x 4x 50 ；解：(7)方程无实数根；(8) 、.2x24 .3x 2、20 ;解：(9) 0.02 x20.03x0.35 ；解:(9)先在方程两边冋乘以100,化为整数系数，再代入求根公式,解:。三、因式分解1. 用因式分解法

4、解下列各方程：2(1) x 5x 24= 0;解：；2(2) 12x + x 6 = 0;解：；(3) x2 4x 165= 0解：；(4) 2x2 23x + 56= 0 ；解：(2x 7)( x 8)0, X!7 , X28 ；(5) 9x224x 16 4x 12 ；解：(6). 3(x3)3(3 x)2 ；解:(7) x 2 2=4(a b) + (b c) + (c a) v 03.若方程m2x2 (2m 3)x 1 0的两个实根的倒数和是S,求:分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m借助m的取值范围就(、3、2)x、6

5、0解：；(8) (x 2)2 5x 106;2解：(x 2) 5(x 2) + 6 = 0, (x 2-2)(x 2- 3) = 0, Xi = 4, X2= 5;(9) t(t + 3) = 28;解：(9) t + 3t 28= 0, (t + 7)(t 4) = 0, ti= 7, 12= 4;(10) (x + 1)(x + 3) = 15。解：x + 4x + 3= 15, (x + 6)(x 2) = 0, xi = 6, X2= 22. 用因式分解法解下列方程：(1) (y 1)2 + 2y(y 1) = 0;解：；2 2(2) (3x + 2) = 4(x 3);解：(3x2)

6、2(x 3)( 3x2) Qx 3)022(3) 9(2x + 3) 4(2x 5) = 0;解：3(2x + 3) + 2(2x 5)3(2x + 3) 2(2x 5) = 0(4) (2y + 1)2+ 3(2y + 1) + 2= 0。解：(2y + 1) + 1(2y + 1) + 2 = 0,三、综合练习S的取值范围1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是(B )A. 7x2x 1 = 0B. 9x2=4(3x 1)C.2x 7x 15 03 22D.xx 102 22.若a,b, c互不相等，则方程(a + b + c )x + 2(a + b+ c)x + 3 = 0 ( C )

7、A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.根的情况不确定解析:2因为= 4(a + b + c)12(a2+ b2+ c2)2 2 2=4( 2a 2b 2c + 2ab + 2ac + 2bc)可求出S的取值范围解：设方程的两个实根为X x2，则X! x22m 3m2,X1X2方程有两个实根4.已知关于x的方程x2+ (2m+ 1)x + (m 2) 2= 0。m取什么值时，(1) 方程有两个不相等的实数根？(2) 方程有两个相等的实数根？(3) 方程没有实数根？解析:= (2m + 1)2 4(m 2)2= 5(4m 3)。(1) 当，即时，原方程有两个不相等的实数根

8、;(2) 当时，原方程有两个相等的实数根；(3) 当时，原方程没有实数根。5.已知关于X的方程x22(k 1)x k2 2k 10(1) 求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。(2) 如果a是关于y的方程y2 (X1 x2 2k)y (X1 k)(x2 k) 0的根，其中X1, X2为方程的两个实数根。求：代数式(丄旦)一丄匚的值。a a 1 a 1 a分析：第(1)题直接运用根的判别式即可得到结论，第(2)题首先利用根与系数关系可将方程化成y22y10，再利用根的定义得到a 2a 1，将代数式化简后，把a2a1整体代入即可求出代数式的值。(1)证明：2 2T4(k 1)4(k2k

9、 1)4k228k44k8k 480二对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。（2）解：v Xi, x2是方程的两个实数根.方程为y 22y 10va是方程的根，二a22a 10注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6.已知关于x的一元二次方程ax2 2ax c 0的两个实数根之差的平方为m（1） 试分别判断当a 1，c 3与a 2，c 2时，m 4是否成立，并说 明理由；（2）若对于任意一个非零的实数a, m 4总成立，求实数c及m的值。解：（1）当a 1，c3时，原方程化为x2 2x 3 0,则X11，x 3.m1( 3) 2164即m4成立当a2, c2时，原方程化为2

10、x24x20由44 X 2 X 20，可设方程的两根分别为x1，x2则X1X22，X1X22.m(x1x2)2(x1 x2)24x1x24 2 24即m4不成立(2)设原方程两个实数根是X1, X2则X1ccx22, x1x2av对于任意一个非零的实数 a，都有4 4c4a第2讲根的判别式【知识要点】1.根的判别式:关于X的一元二次方程ax2 bx c 0(aM 0)当0时，方程有两个不相等的实根当0时，方程有两个相等的实根当0时，方程无实根【典型例题】1. a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2 + (b2+ c2 a2)x + c2 = 0没有实数根分析：此题需证出0, b

11、0, c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。证明：因为= (b2+ c2 a2)2 4b2c22 2 2 2 2 2=(b + c a) + 2bc(b+ c a) 2bc2 2 2 2=(b + c) a (b c) a =(b + c + a)(b + c a)(b c + a)(b c a)。(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为 b + ca，即卩 b+ c a0,冋理 b c + a0,又 c + ab，即卩 b c av0。又 a+b+ c0,所以= (b + c + a)(b + c a)(b c+ a)(b c a

12、) v 0。 所以，原方程没有实数根。【经典习题】1 关于x的一元二次方程(a c)x2 bx a c 0有两个相等的实数根，那么以a、b、c为4三边长的三角形是()A. 以a为斜边的直角三角形B. 以c为斜边的直角三角形C. 以b为底边的等腰三角形D. 以c为底边的等腰三角形2. 已知关于x的一元二次方程x2 (k i)x丄k2 1 04(1)k取什么值时，方程有两个实数根。(2)如果方程的两个实数根Xi, X2满足区| X2，求k的值1解：(1) (k 1) 2 4( k2 1)2k 3 04解得k 3，二当k3时，方程有两个实数根2 2(2)v | X1 | X2，分两种情况 当X10时

13、，得X1X2，二方程有两个相等的实数根。 当 x0时，得 x2x1, - x1 x2 0由根与系数关系，得k 103/. k1,由(1)知k 一，矛盾23. 已知方程X2 (2k 1)X k2 2 0的两根的平方和为11,求k的值 解：设方程的两根为X1, X2则有 X1 X2(2k 1), X1X2 k2 2二当k3时，0,舍去当k 1时， 0。/. k 1注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4. 含有绝对值的一元二次方程(1).方程x|x| 8|x| 4 = 0的实数根的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4解：显然X = 0不是方程的根。当 xv 0 时，x | X |

14、 8 | x | 4v 0。 x v0的任何实数不可能是方程的根。当x0时，方程为X2 8x 4= 0。此方程两根之积为一 4v0,可见两根为一正一负。又因 x0, 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。(2).求方程x2|2x 1| -4= 0的实数根。解：令2x 1 0得x 1显然x *不是方程的解当x-时，方程是x2(2x1) 40即x22x30,解得x3或x1x =1 舍去， x= 3当x12时，方程是x2(12x)40即x22x50,解得x1 、6x1.6 舍去，. x1 ,6故方程的实数根是Xi3, X21 .6。5. a,b,C,d为有理数，先规定一种新的运算：ad be,

15、那么2i x)45 =18时，x=6.已知x., ,x2是方程x2 4x19 0的两根，求代数式X；35x21的值。7.(广东广州，19, 10分)已知关于x的一元二次方程ax2bx 10(a0)有两个相等的实数根，求(a 2陷4的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此/ =b24a 0,可得出a、b之间的关系，然后将話吟4化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值.【答案】解：T ax2bx 10(a0)有两个相等的实数根,/= b2 4ac 0，即 b24a 0.ab2ab22 2 2 2(a 2) b 4 a 4a 4 b 4ab2a2 4a b2ab22aab2b28

16、.(四川乐山中考)若关于X的一元二次方程X2 2(2 k)x k2 12 0有实数(1) 求实数k的取值范围；(2) 设t，求t的最小值.k(3) 解：(1)V一元二次方程x2 2(2 k)x k2 12 0有实数根、 ,(4) 二 0 ,2分(5) 即 4(2 k)2 4(k2 12) 0 ,10(6) 解得4分(7)(3)由根与系数的关系2(2 k)4 2k ,.6 分(8)二 tk4 2k42 ,kk7分(9)/ k2 ,2-2 k0 ,(10)二 4-2 k2 ,(11)即t的最小值为4 .9. (四川绵阳中考)已知关于x的一元二次方程x2 = 2 ( 1m x m的两 实数根为Xi,

17、 X2.(1) 求m的取值范围；(2) 设y二Xi + X2,当y取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小 值.【答案】(1)将原方程整理为x2 + 2 (m- 1) x + m = 0 .原方程有两个实数根， = 2 (m- 1) 2 4吊二一8m+ 4 0,得 me -.2(2) t X1, X2为 x2 + 2 (n 1) x + m = 0 的两根，y = X1 + X2 = 2m+ 2，且 me -.2因而y随m的增大而减小，故当m二丄时，取得极小值1.210. (湖北孝感中考)关于X的一兀二次方程x2 x p 1 0有两实数根x1、X2.(1) 求p的取值范围；(4分)(2) 若2

18、 X1(1 X1)2 X2(1 X2) 9,求p 的值.(6 分)【答案】解：(1)由题意得：(1)24(p 1)0.2 分解得：p 54分4(2)由2 X1(1 X1)2 X2(1 X2) 9得，(2 X1 X12)(2X2xf)9.6分(2 p 1)(2p1)9,即(p1)29.8分p 2,或p4.9分p 5,所求p的值为p 4. 10分4X2 1 Xi代入原求值式中求解；11. (山东淄博中考)已知关于X的方程X2 2(k 3)x k2 4k 1 0 .(1) 若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2) 若这个方程有一个根为1,求k的值；(3)若以方程X2 2(k 3)x k2 4k 1

19、 0的两个根为横坐标、纵坐标的 点恰在反比例函数y m的图象上，求满足条件的m的最小值.X【答案】解：(1)由题意得厶= 2 k 3 2 4 k2 4k 1 0 化简得 2k 10 0,解得k 5.(2) 将1代入方程，整理得k2 6k 6 0，解这个方程得 k1 33 , k233.(3) 设方程X2 2(k 3)x k2 4k 1 0的两个根为捲,X2,根据题意得m X1X2 .又由一元二次方程根与系数的关系得 x(x2 k2 4k 1 ,那么m k2 4k 1 k 2 2 5，所以，当k = 2时m取得最小值一 512. (广东茂名中考)已知关于x的一元二次方程x2 6x k2 0 (

20、k为常数).(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；(2) 设X1 , X2为方程的两个实数根，且X1 2X2 14，试求出方程的两个实 数根和k的值.【答案】解：(1) b2 4ac ( 6)2 4 1 ( k2) 36 4k2 0 ,2因此方程有两个不相等的实数根.X2又:x1 2x214 ,解方程组x-! x26,X 2x214,x28.将X12代入原方程得(2)2 6( 2) k20，k 4 7分方法二： 将 人和X2 代入XM C , 得a2 8 ,6分1解得：k 4 7分第3讲根与系数的关系【知识要点】1.根与系数关系关于X 的一元二次方程2axbx c 0(a 丰 0)当0时，有

21、X1bx2X1 x2caa推论1 :如果方程x2pxq 0的两个实数根是x1, x2，那么 x1x2p,x1x2 q.推论2:以x1 ,x2为根的-元1次方程（二次项系数为1)是：X2 (X1 X2)X x1x20【典型例题】1. 已知万程x2 3xm0的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。3x 2x- 12mx 2x- 22解：设方程的一个根为X,另一根2x由根系关系知：解得：x 2m 12. 已知方程3x27x 30的两根&、X2（X1x?）不解方程，求.石x?和x-i x2的值。解：由题设条件7 - 32XX1X1【经典习题】-.选择题。1. 已知x 3是关于X的一元二次方程k

22、 1 x2 2kx 3 0的一个根，则k与另一根分别为（）A. 2，-1B. -1 ，2C. -2，1D. 1，-22. 已知方程3x2 m 4xm 10的两根互为相反数，则m的值是（）A. 4B. -4C. 1D. -13. 若方程x2 x k 0有两负根，则k的取值范围是（）11A. k 0 B. k 0 C. k D. 0 k -44 若方程x2 px q 0的两根中，只有一个是0,那么（）A. p q 0B. p 0, q 0C. p 0, q 0D.不能确定5.方程x2 px 口 0的大根与小根之差等于（4A.B. 2p2 1 C. 1D.、_2pL16.以丄亠，2于为根的，且二次项

23、系数为1的一元二次方程是（）A.C.x2xx2x.填空题。7. 关于xB.D.的一元二次方程8.已知一元二次方程ax29.已知方程x21mx mm310. 已知、是方程11.已知 2213，1x2bxx2x m2c 0两根比2：0的两根互为倒数，则 m=3,贝S a, b, c之间的关系0 的两根 x1、x2，且 x12 x229，则 m5x 20的两根，不解方程可得：则以、为根的一元二次方程是二.解答题。12.已知方程2x2 3x 70的两根、，求作以为两根的方13.设X X2是方程x2mm20的两个实根，且两实根的倒数和等于3,试求m的值。【试题答案】.选择题。1. A2. B3. D4.

24、 B5. C6. B填空题。7.8.9.m21设x12t，X23t，X1x2mX1X21 -mm34X12 X229m5或m35时,则2 m 1 2 4m2原方程 x2满足2x1 x2 m 2，求m的值2. 已知关于x的方程x2 2mx 3m 0的两个实数根是X1、X2，且 (X1 X2)2 16，如果关于x的另一个方程x2 2mx 6m 9 0的两个实数根都在 X1和x2之间，求m的值。第一次课后作业【经典练习】1. 已知X=-1是关于X的方程2x2 ax 3a 0的一个根，则a=。2. 若方程(m 1)xm 1 2mx 3 0是关于X的一元二次方程，求m的值。3. 若(m 1)xm 1 5x 3 0是关于X的一元二次方程，则 m 。a2 b24. 已知a 0, a b, x=1是方程ax2 bx 10 0的一个解，则-的值2a 2b5.关于X的一兀二次方程(m 2)x2 3m2x m2 4 0有一根为0,求2m2 4m 3 的值。6