抽象函数的类型与解法

1、抽象函数的类型与解法广州市黄埔区教育局教研室 曾辛金1. 正比例函数型的抽象函数f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0，f(1) 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求

2、出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.3. 对数函数型的抽象函数f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例6设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范围.分析：（1）利用313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y f（x）的反函数是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）

3、b，进而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.4. 三角函数型的抽象函数f（x）tgx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）； 当0x2a时，f（x）0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函数；（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

4、对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），（1） 求证：f（1）f（1）0；（2） 求证：f（x）为偶函数；（3） 若f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x）0.分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y

5、满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，求证：（1） 当x0时，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是减函数.分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），进而由x1x2，有f（x1x2）1.总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到

6、实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y总有f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，则当x0时，f（x）的取值范围是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1） （D）（1，）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2），则f（x）为（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）