线性代数考试A参考答案及评释

1、华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2005学年第一学期 考试科目：线性代数考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四五六七总分得分参考答案评阅人这是题文 这是参考答案 这是评释填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D各行元素之和等于0，则该行列式等于.各行加到第一行上去, 则第一行全为零2.设为2005阶矩阵，且满足，则.P98奇数阶实反对称阵的行列式为零3.非齐次线性方程组有解的充要条件是.P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件4.设为4阶方阵，且的行列式，则. 重要关系( P34定理1.9); (p44题1.18)5.设则与的距离为.6.设为正交矩

2、阵，则,.由正交矩阵的定义立即得到且7.三阶可逆矩阵的特征值分别为2，4，6，则的特征值分别为.若是的特征值, 则是的特征值, 因为.参考P87定理4.4: 的特征值是. 8如果是正定的，则的取值范围是. p100定理5.69.设为阶方阵，且，则.由推出 10.在MATLAB软件中rank(A)表示求 矩阵A的秩 .English!二、单选题（每题3分，共15分）1.元齐次线性方程组秩则有基础解系且基础解系含（ D ）个解向量. （A） （B） （C） （D） P62 line 5: 基础解系含个解向量 2. 设四阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为（ D ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）

3、0.的余子式(3阶子式)全为零.是零矩阵. 3. 设是阶方阵，满足，则（ B ）（A）的行列式为1 （B）不同时可逆. （C）的伴随矩阵 （D）的特征值全是1 . 4. 设阶方阵满足，其中是阶单位阵，则必有（ C ）（A） (B) (C) (D) .p7性质1.2, p35定理1.105. 在MATLAB中求A的逆矩阵是（ C ） （A）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A)三、计算题（每题6分，共12分）1.或者.2.给定向量组， 求的一个最大无关组和向量组的秩.可见，是一个最大无关组。列向量作行变换, 行向量作列变换四、设验证：线性相关.（8分）解：设

4、有一组数使得 则若线性相关时，显然不全为零，则线性相关.若线性无关时，可得到，方程有无穷多解，不全为零，则也线性相关.这个证明中, “(若线性相关时，)显然不全为零”这点是需要说明的, 不该用“显然”含混过去.事实上可以不考虑线性的相关性, 只需要说明方程组有非零解. 例如可取, 而有.证法二: 可由较少向量线性表示, 从而是线性相关的.(p56引理2.1).引理2.1设向量组可由向量组线性表示.如果,则线性相关.五、已知 ，求及 （10分）解：可逆.利用初等行变换，可见由于，所以.开头的求这一步是多此一举. 对作行初等变换时, 若不可逆; 大矩阵的左半部将出现某一行全为零的情形, 这说明是降秩的.六、设线性方程组当等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分）解：对方程组的增广矩阵作初等变换可见1.当时，方程组无解；2当且时，方程组有唯一解；3当，方程组有无穷多解。有对应的方程组为，令，得到非齐次方程组的特解为，令时，对应的齐次方程组的基础解系为，则得到通解为.七、求一个正交变换，把下列二次型化为标准形 （13分）解：易知二次型的矩阵为