2016届高中数学教案高二第二册(数列)

1、第七章：数列与数学归纳法74 数学归纳法Mathematical Induction教学目标1、知道 什么是数学归纳法，关注 数学归纳法的几点注意事项；2、会 使用 数学归纳法解决一些简单数学命题.教学重点掌握数学归纳法证明，关注两大步骤.教学过程A：何谓归纳法由一系列有限的 特殊事例 得出的 一般结论 的推理方法叫做归纳法，归纳法是发现客观世界的内涵的一种行之有效的方法。例如：写出数列的通项公式；数列中每一都能被整除；三角形内角和，四边形内角和，五边形内角和，。多边形内角和；一条直线将平面分成两个部分，两条相交直线将平面分成四个部分，三条两两相交且交点不重合的直线将平面分成七个部分，条直线两

2、两相交且交点不重合的直线将平面分成个部分？质数，猜想质数发生器：，歌德巴赫猜想Goldbach Conjecture近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如，等等。1742年6月7日哥德巴赫 ( Goldbach )写信给当时的大数学家 欧拉 ( Euler )，提出了以下的猜想:(a)任何一个之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；(b)任何一个之奇数，都可以表示成三个奇质数之和.这就是著名的哥德巴赫猜想.B：数学归

3、纳法只是简单根据若干特殊事例得出的结论往往不一定正确，所以使用归纳法研究某些数学问题时，还 必须对所得的结论进一步加以证明 ，以保证结论的完全正确。若我们所要证明的数学问题与自然数有关，我们往往就可以采用数学归纳法。数学归纳法证题步骤：验证命题对于第一个自然数成立；（指取的第一个值）假设命题当时成立，证明当时命题也成立；由、对于一切的自然数，命题均成立.（即当完成了上面两个步骤后，我们就可以断定该命题对于从开始的所有自然数均正确）（鸡生蛋，蛋生鸡，循环叠代）例1、用数学归纳法证明： 证明：当时，左，右，因此命题成立；假设当时等式成立，即， 则当时，左，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数

4、，原命题均成立.练习：用数学归纳法证明C：对于数学归纳法的几点说明光有步骤而缺少步骤，不能说明命题对于从开始的所有自然数均正确.例如对于数列，容易验证都是质数，而就不是质数.光有步骤而缺少步骤，也不一定得出正确的结论.例如：关于自然数的命题就是一个错误的命题，也就是说必须严格证明，因为它是结论在自然数集上递推的基础。对于时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点和重点，一定要特别重视使用 归纳假设.（没有用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明，我们称为伪数学归纳法）例2、一个学生在用数学归纳法证明时，用了如下方法来证明：假设当时等式成立，则当时，左边 ，所以时等式成立. 问该同学的这种证法是否恰当

5、，说明你的理由.练习：1、用数学归纳法证明：2、用数学归纳法证明：3用数学归纳法证明：4、设，求证：能被整除参考解答：（考虑问题难易，针对3、4做解答仅供参考）3、证明当时，左，右，所以原命题成立；假设当时等式成立，即则当时，左，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.4、证明当时，能被整除；假设当时命题成立，即，则当时， 因为，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.与自然数有关的数学命题的证明方法由许多种，希望大家在今后的学习过程中灵活应变.课后反思1、作业布置习题册 习题组、组2、自我体会 本节课多少又有些遗憾，讲评试卷和习题册以致分两次讲完，好的是有

6、原地踏步可以更多了解学生，格式基本强化到位了，可解决问题的能力还需加强，基本计算能力有待提高。加油！第七章：数列与数学归纳法75 数学归纳法的应用教学目标在掌握了数学归纳法证明问题的方法后，本节课侧重 等式证明 和 整除证明 给予学生练习巩固.教学重点方法的体会，训练：数学语言的表达，格式的规范，思维的严谨.教学过程有关自然数的命题通常都可以用数学归纳法来证明，因此数学归纳法应用范围较广，如解决 证明代数恒等式 、整除性问题 、几何问题、三角恒等式以及不等式等等，几乎涉及到初等数学的各个方面，它是初等数学中一个非常重要的证题方法. 使用数学归纳法证题的难点是有时需要综合运用过去所学的知识，对这

7、些知识的综合运用能力差及对相关知识的遗忘是数学归纳法证题的主要障碍，本节课重点研究恒等式的证明与整除性问题.A : 恒等式的证明例1、用数学归纳法证明：证明：当时，左，右，所以原命题成立；假设当时等式成立，即则当时， ，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.练习：数学归纳法证明1、2、参考解答：1、证明当时，左，右，所以原命题成立；假设当时等式成立，即，则当时， .所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.2、证明当时，左，右，所以原命题成立；假设当时等式成立，即成立.则当时，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.B：整除性问题用数学归纳

8、法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除. 在由时命题成立，证明命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧. 欲证能被整除，只需要把分成两部分：，其中能被整除是由归纳假设的，而能被整除是显然的，从而证得整除.例2、求证：当为正整数时，能被整除证明：当时，能被整除，所以原命题成立；假设当时命题成立，即，则当时，注意到，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.例3、求证：对任意自然数，能被整除证明：当时，所以原命题成立；假设当时命题成立，即，则当时，所以时命题

9、仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.练习：1、求证：能被整除2、求证：能被整除3、求证：能被整除4、求证：能被整除参考解答：（考虑问题难易，针对3、4做解答仅供参考）3、证明当时，所以原命题成立；假设当时命题成立，即.则当时，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.4、证明当时，所以原命题成立；假设当时命题成立，即.则当时，所以时命题仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.课后反思1、作业布置习题册 习题组、组2、自我体会今天的课时连着午会课的，因此用去半小时进行检测，情况不理想，8班只有43分，1班更只有38分。情况双方都，我没算计好时间，试卷难度和 新

10、题多了些，学生掌握情况也确实不理想，进度快难度大学生不熟练，结果可想而知！总结经验教训。下周要改变，给学生信心很重要！下周会有实习大学生来！考虑让他（她）干点啥活?第七章：数列与数学归纳法76 归纳猜想论证教学目标引入重要数学思想方法： 归纳猜想论证 ，首先要培养 观察能力 ，会发现事物规律；其次要培养 想象能力 ，会联想结论；最后要训练数学 语言表达能力 ，学会证明.（一定情况下，证明过程是不是数学归纳法并不是必须的）教学重点找规律，会猜想，能证明，思想方法的养成有待时日.教学过程A：引言有许多数学问题是由简单情形进行归纳、抽象，然后加以证明的，从某种意义上讲，数学问题中， 重要的是发现，而

11、后才是证明 .例如：基本不等式（已予以证明的猜想）费尔马猜想：，当时无非零整数解；（还未证明的猜想）歌德巴赫猜想等等。归纳猜测证明的方法体现了考虑数学问题时 从特殊到一般 的思想方法，是我们解决问题的有利工具。本节课重点在于如何归纳，寻找规律，在归纳的基础上大胆猜想，而后才是证明，而且值得注意的是 证明的方法不应仅仅局限于数学归纳法 。B：实例例1、顺次计算数列，的前项的值，由此猜测的结果，并用数学归纳法证明.参考解答：前四项的值分别为，猜想.证明：当时，所以该猜想成立；假设当时猜想成立，即.则当时，所以时猜想仍成立；由、可知对于一切的自然数，原命题均成立.例2、计算数列前项的值，由此猜想数列

12、的前项和的公式，并用数学归纳法证明.参考解答：前项的值为，因此猜想的通项为.由此猜想数列的前项和的公式为.证明：当时，所以原命题成立；假设当时猜想成立，即，则当时，.所以时猜想仍成立；由、可知对于一切的自然数，原猜想均成立.例3、顺次计算的前项的值，由此猜想的结果，并用数学归纳法证明.参考解答：前项的值为，由此猜想证明：当时，所以原命题成立；假设当时猜想成立，即，则当时，所以时猜想仍成立；由、可知对于一切的自然数，原猜想均成立.C：实践1、由归纳原理探求出凸边的对角线条数为多少？楼梯共级，每步只能跨级或级，走完该级楼梯共有种不同的走法，则间的关系是什么？参考解答：， (斐波那契数列)2、已知正数数列的前项和满足，求.参考解答：3、已知数列满足，计算的值，并猜想的表达式，并用数学