广东省丝绸职业技术学校2013年高二上学期期末考试数学(理)试卷

1、广东省丝绸职业技术学校2013 年高二上学期期末考试数学（理）试卷第卷（选择题共40 分）一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1 “1且b2”是 “3”的（） .aa bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2焦点在 y 轴上的双曲线，实轴长6，焦距长 10，则双曲线的标准方程是（） .2222A yx1B yx164363664C y2x21D y2x211699163如果函数2轴有两个交点，则点（ a,b）在 aOb 平面上的区域为（注：下列各选项的y=ax +bx+a 的图象与

2、x区域均不含边界，也不含y 轴）（） .ABCD4已知 x1, y1且 1 ln x,1 , ln y 成等比数列，则 xy 有（） .44A最大值 eB最小值 eC最大值 eD最小值e5设有一个质点位于A(1，1，2)处 , 在力 F =(2, 2, 2 2 ) 的作用下， 该质点由 A 位移到 B(3, 4, 22) 时，力F所作的功（W F S） . ）的大小为（A 16B 14C 12D 106方程 mxny20与 mx2ny21 ( mn0) 在同一坐标系中的大致图象可能是（） .ABCD7某同学对教材选修2-2上所研究函数13的性质进行变f (x)x 4 x 43式研究，并结合 T

3、I-Nspire 图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（）.A f ( x) 的极大值为28f ( 2)3B f ( x) 的极小值为4f (2)3C.f (x) 的单调递减区间为( 2,2)D.f (x) 在区间 3,3 上的最大值为f ( 3)78 P 是以 F1 ,F2 为焦点的椭圆上一点，过焦点F2 作F1 PF2 外角平分线的垂线，垂足为M ，则点 M 的轨迹是（） .A椭圆B圆C双曲线D双曲线的一支第卷（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30分，把答案填在答题卡相应横线上）9在等差数列 an 中，若

4、a3a4a5a6a790，则数列 an 的前 9 项的和为.10若命题 “ x0R ， x02(a1)x010”是假命题，则实数 a 的取值范围为.11过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1 ，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1 x2 6，那么 |AB |等于12在 ABC中，有等式：asinA=bsinB； bsinC=csinB； acosB=bcosA；abc. 其中恒成立的等式序号为_.sin Asin BsinC13某公司租地建仓库，每月土地占用费y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km 处建仓库，这

5、两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站km .14已知下列命题：若 A、B、 C、 D 是空间任意四点，则有AB + BC + CD + DA = 0 ；| a b | a | b |是 a 、 b 共线的充要条件；若 a,b,c 是空间三向量，则| ab | ac | | cb | ；对空间任意点O 与不共线的三点A、B、C，若 OP =xOA +y OB +zOC （其中 x、y、z R），则 P、A、B、C 四点共面 .其中不正确的命题的序号是.三、解答题（本大题共6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步

6、骤.）15（ 13 分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A、 B 两点之间的距离，观察者找到一个点C，从 C 点可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点A，C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，CDACEB60 .（ 1）求 ABC 的面积；（ 2）求 A、 B 两点之间的距离 .16（ 13 分）已知等差数列 an 的公差 d1，前 n 项和为 Sn .（1）若 1,a1 , a3成等比数列，求 a1 ；（2）若 S5a1a9，求 a1 的取值范围 .17（ 13 分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人

7、良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化合物， 0.06 kg 的蛋白质， 0.06 kg 的脂肪 . 1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白质， 0.14 kg 脂肪，花费28 元；而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合物， 0.14 kg 蛋白质， 0.07 kg脂肪，花费21 元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物和食物 B 多少 kg？最低花费是多少？18. （ 13 分）如图，已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA， OB， OC 两两垂直， 且 OA1 ，OB OC2 ，E 是

8、 OC的中点（ 1）求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值；（ 2）求直线 BE 与平面 ABC 所成角的正弦值 .19. （ 14 分）已知直线l : y 2x 与抛物线 C : y1x2 交于 A( xA , yA ) 、4O(0,0) 两点，过点 O 与直线 l 垂直的直线交抛物线C 于点 B( xB , yB ) . 如右图所示 .（ 1）求抛物线 C 的焦点坐标；（ 2）求经过 A、B 两点的直线与 y 轴交点 M 的坐标；（3 ）过抛物线 x22py 的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B 的直线 AB 是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论

9、；如果不是，请说明理由 .20（ 14 分）已知函数 f ( x) x2x sin x cos x .（1）求 f (x) 的最小值；（2）若曲线 yf (x) 在点 (a, f ( a) )处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值 .（3）若曲线 yf (x) 与直线 yb 有两个不同的交点，求b 的取值范围 .中山市高二级2013 年第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、 ： ADCBBADB二、填空 ：9162；10 1, 3 ；11 8；12；13 5； 14 .三、解答 ：15解：（ 1） Rt ACD 中，AC16 tan60163 . （2分）Rt BCE 中，BC 1

10、6 t a n 6 01 6 3.（4分）ABC 的面 S ABC131 63 s i n 3 0( m2 )分）1 61 9 .2（ 62（ 2）ABC 中，AB(163) 2(16 3) 22 163163cos30（ 9 分）=16311322=16323（11分）=1634232= 24 2 8 6 . （13分）16解：（ 1）因 数列 an 的公差 d1 ，且1,a1 ,a3成等比数列，所以 a121(a12)，（3分）即 a12a12 0，解得 a11或 a12 .（6分）（ 2）因 数列 an 的公差 d1，且 S5a1a9 ,所以 5a110a128a1 ，（9分）即 a12

11、3a1100，解得5a12.（13 分）17解： 每天食用x kg 食物 A， y kg 食物 B， 花 z 元， 目 函数 z 28x21y ，且 x, y 足 束条件0.105x0.105 y0.0750.07x0.14 y0.06， （3分）0.14x0.07 y0.06x 0,y 07x7 y5整理 7x14 y614 x7 y， （ 5 分）6x0, y0作出 束条件所表示的可行域，如右 所示 .（ 7 分）将目 函数z 28 x21y 形4z为 yx.321如 ，作直 l 0 : 28 x21y0 ，当直 l0 平移 可行域，在 点M ， y 上截距z 最小，即此 z 有21最小

12、. （9分）7x7 y 5的坐 x14（11解方程 7 y，得点 M, y.14x677分） zmin 28x21y16（12分） 每天需要同 食用食物A 约 1kg （或 0.143 kg），食物 B 约 4kg（或 0.571 kg），能 足日常 食要77求，且花 最低 16元 .（13分）18. 解：（1）以 O 原点 , OB 、 OC 、 OA 分 x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系 . 有A(0,0,1) 、B(2,0,0) 、 C(0,2,0)、 E(0,1,0).（2 分）EB(2,0,0)(0,1,0)(2, 1,0), AC(0,2,1)（ 4 分）cos2,652（

13、分）55所以异面直 BE 与 AC 所成角的余弦 2 .（7 分）5（ 2） 平面 ABC 的法向量 n1 ( x, y, z),则由 n1AB知 : n1AB2xz0;由 n1AC知 : n1AC2 yz0.（9分）取 n1(1,1,2) ，（10分）cos2 130 ， （12分）5630所以直 BE与平面ABC所成角的正弦 30.（ 分）133019解：（ 1）抛物 C : y1x2 的方程化 x24 y ，所以 2 p4 ， p 2 . （ 2 分）4 抛物 C 的焦点坐 (0,1) .（4分）y1x2（6 分）（ 2） 立方程 4，解得点 A 坐 (8,16) .y2 xy1x2 立

14、方程 4，解得点 B 坐 ( 2,1) .（7 分）1y x2所以直 AB 的方程 y161分）1( x 2) ， （88( 2)令 x 0 ，解得 y4 . 点 M 的坐 (0,4) .（9分）（3） ： 抛物 x22 py 的 点任意作两条互相垂直的直 ， 两条直 与抛物 的交点的直 AB 恒 定点 (0,2 p) .（10分） 明如下： 抛物 x22 py 的 点的一条直 ykx （ k0）， 另一条 y1 xk2x 立方程 yx2 立方程 y2 pykx2 py1xk，解得点A 坐 (2 pk,2 pk2 ) .（11 分）2 p2 p（12 分），解得点B 坐 (,2 ) .kk2

15、p2 pk22 p2 p) ，所以直 AB 的方程 yk 2(x（13 分）k 22 pk (2 p)kk令 x 0 ，解得 y 2 p . 直 AB 恒 定点 (0,2 p) .（14分）20. 解：（1）由 f ( x)x2xsin xcos x ，得 f ( x)x(2cos x) .（1 分）令 f (x)0 ，得 x0 .（2分）f ( x) 与 f ( x) 随 x 的 化情况如下:（4分）所以函数 f ( x) 在区 (,0) 上 减，在区 (0,) 上 增，f (0) 1 是 f (x) 的最小值.（5分）（ 2）因 曲 yf ( x) 在点 (a, f (a ) 与直 yb 相切，所以 f(a)a(2cos a)0 ， b f (a) ，（7分）解得 a0 ， bf (0)1.（9分）（ 3）当 b1 ，曲 yf ( x) 与直