二次函数与拱桥最值四边形问题

1、二次函数与拱桥类问题1如图(1)，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米(即MO=6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米)当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图(2)的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF 思路点拨：观察图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为(0，6)，故设关系式为又因为AB=20，所以OB=10，故B(10，0)在抛物线上，代入关系式可求得a=-0.06第(2)问中当水位上涨到刚好淹没小孔时，OD=4.5，即E、F两点纵坐标为4.5，代入关系式求出E或F点横坐标即可解：设抛物线所对应的函数关系式为依题

2、意得B(10，0)在抛物线上，所以，解得，即当时，解得x=5 DF=5米，EF=10米故水面宽度为10米2.如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米. (1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时.水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？3.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?4. 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面

3、的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.4如图2632，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度225m（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为35m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到01m）6.如图，一位运动员

4、在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？7.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误

5、（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由思路点拨：由图所示直角坐标系，可知抛物线经过O、A、B三点，O、B两点的坐标由分析可知O(0，0)、B(2，-10)，且A的纵坐标为，故可设抛物线，求得a、b、c的值会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5米，换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5米解：(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为 由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0

6、)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为， 解得 或 抛物线对称轴在y轴右侧， 又 抛物线开口向下， a0，b0， ，. 抛物线关系式为.(2)当运动员在空中距池边的水平距离为，即时， . 此时运动员距水面的高为. 因此，此次跳水会出现失误8.如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ADCBOEy第24题图（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？9

7、.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；OxyM3第24题图ABCDP(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 二次函数最值问题1、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cms的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cms的速度移动，如果P、Q两点同时

8、出发，分别到达B、C两点后就停止移动（1）运动第t秒时，PBQ的面积y(cm)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t为何值时s最小，最小值时多少？答案：2、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为米，面积为平方米则长为：(米)则： ，与的二次函数的顶点不在自变

9、量的范围内，而当内，随的增大而减小，当时，(平方米)答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大3、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH是正方形图(2)可以看作是

10、由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形 (2)设CE=x, 则BE=0.4x，每块地砖的费用为y元那么：y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x)10 当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省4如图所示，张强的爸爸想利用一边长为a m的旧墙及24 m长的旧木料，建造羊舍3间，它们的平面图是一排大小相等的长方形 (1)如果设羊舍宽为x m，则羊舍总面积S(m2)与x(m)有怎样的函数关系式? (2)请你帮助张强

11、的爸爸算一下，如果羊舍总面积为32 m2，应如何安排羊舍的长和宽？旧墙的长度是否 会对羊舍的长度有影响？有什么样的影响？(3)为了让羊儿住得好，32 m2是否是最大面积？请利用有关的知识加以说明思路点拨：AB=x，则BC=24-4x，由矩形面积公式便可求出S与x的函数关系式；当面积为32 m2时，函数问题就变成了方程问题，即已知函数值求x；利用二次函数的性质可判断32 m2是否为最大面积，同时要注意x的取值范围 解：(1)AB=x，则BC=24-4x ，所以S=(24-4x)x，即 由题意可知 解得或. 所以当时，； 当a24时，. (2)由，得，解得， 所以当AB=4 m时，BC=8 m；当

12、AB=2 m时，BC=16 m 旧墙长度a对羊舍影响如下： 当a8时，4x6，所以不能建造面积为32 m2的羊舍； 当8a16时，2x4，所以可以建造长8 m，宽为4 m的羊舍； 当a16时，x2，所以可以建造长16 m、宽2 m的羊舍(3)因为，抛物线开口向下， 所以当x=3时，S取最大值，即最大面积为36 m2，此时AB=3 m，BC=12 m，显然3632， 但应考虑旧墙a的范围，则 当a12时，可建造长为12 m，宽为3 m的羊舍，此时面积最大； 当0a12时，可取BC=a，可获得羊舍的最大面积5、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在

13、AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y过点B作BHPN于点H则有AFBBHP，即，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当x5时，函数值随的增大而增大，对于来说，当x=4时，6、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，为涨价时的利润，为降价时的利润则： 当，即：定价为65元时，（元） 当，即：定价

14、为57.5元时，（元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大x（元）152030y（件）2520107、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表： 若日销售量是销售价的一次函数 求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为则 解得，即一次函数表达式为 设每件产品的销售价应定为元，所获销售利润为元 当，（元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元8、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售

15、，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)(）存在如下图所示的一次函数关系式 试求出与的函数关系式； 设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)解：设y=kx+b由图象可知，即一次函数表达式为 P有最大值当时，（元）（或通过配方，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元 31x34或36x399、(河北)研究所对某种

16、新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为(吨)时，所需的全部费用(万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选

17、择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润由，解得或经检验，不合题意，舍去，（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元），应选乙地 10、(南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，

18、他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：（1）设=,由图12-所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-所示，函数=的图像过（2，2），所以， 故利润关于投资量的函数关系式是；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木()万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=+=当时，的最小值是14； 他至少获得14万元的利润因为，所以在对称轴的右侧，随的增大而增大所以，当时，的最大值为32二次函数与四边形A例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，

19、其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由例1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值

20、=（3）存在4个这样的点F，分别是例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0图10(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.例1. 解：（1）解法一：设，任取x

21、,y的三组值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4， A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由题意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又 ，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) .注：也可通过解RtBOC及RtAOC，或依据BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得抛物线P的解析式为：，令=，可求出. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x