集合的含义与表示（两课时）

1、第一课时 1.1.1 集合的含义与表示（一）一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具 1. 学法

2、：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 第一课时一、内容分析：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。在高中数学中，集合与其他内容有着密切联系例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义 集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对

3、概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合”这句话，只是对集合概念的描述性说明二、讲授新课：1集合的概念（1）集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合（set）。常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B。（2）元素：集合中每个对象称为该集合的元素（element），简称元集合的元素常用小写的拉丁字母来表示，如a、b、c2关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互

4、不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.3常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：自然数集内排除0的集合记作N*或N+ ，（3）整数集：全体整数的集合记作Z , （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q （5）实数集：全体实数的集合记作R4集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果是集合的元素，就说属于(belong to)，记作注意“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写（2）如果不是集合的元素，就说不属于(not belong

5、to)，记作 第二课时5集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；各元素之间用逗号分开。注：1大括号不能缺失.2有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：1，2，3，100自然数集N：1，2，3，4，,n,区分a与a：a表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的

6、性质（满足的条件）表示出来，写成 的形式。例如，不等式的解集可以表示为：或，所有直角三角形的集合可以表示为：，直线 x-3y+2=0上的点的集合可以表示为：注：在不致混淆的情况下，也可以写成：直角三角形；大于104的实数 注意区别：实数集，实数集.（3）何时用列举法？何时用描述法？1有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合1000以内的质数例 集合与集合是同一个集合吗？答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集（4）文恩（V

7、enn）图示意6两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。7集合的分类（1）有限集（finite set）：含有有限个元素的集合（2）无限集(infinite set)：含有无限个元素的集合（3）空 集(empty set)：不含任何元素的集合记作，如：三、例题1下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5（有重复）2由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（ A ） （A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素3集合中，应满足的条件是_。解：根据构成集合的元素的互异性，应满足：变：

8、若，则x=_4用描述法表示下列集合1，4，7，10，13 -2，-4，-6，-8，-10 5用列举法表示下列集合 xN|x是15的约数 1，3，5，15（x，y）|x1，2，y1，2 （1，1），（1，2），（2，1）（2，2）注：防止把（1，2）写成1，2或x=1，y=2 -1，1 （0，8）（2，5），（4，2） （1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）6已知，且，求的值答案：或7关于x的方程axb=0，当a,b满足条件_时，解集是有限集；当a,b满足条件_时，解集是无限集8下面三个集合；。（1）它们是不是相同的集合？（2）它

9、们各自的含义是什么？解：（1）不是相同的集合。（2）集合是函数的自变量所允许值所组成的集合，因为可以取任意实数，所以=R。集合是函数的所有函数值组成的集合，由二次函数图象知，所以。集合是函数图象上的所有点的坐标组成的集合。9已知集合A=，若A中元素至多只有一个，求的取值范围。解：（1）=0时，原方程为，符合题意。（2）时，方程为一元二次方程，。当时，方程无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。综合（1）（2），知=0或。*10设集合G中的元素是所有形如ab（aZ, bZ）的数，求证： (1) 当xN时, xG; (2) 若xG，yG，则xyG，而不一定属于集合G证明(1)：在ab（aZ, bZ

10、）中，令a=xN,b=0,则x= x0= abG,即xG 证明(2)：xG，yG，x= ab（aZ, bZ）,y= cd（cZ, dZ）x+y=( ab)+( cd)=(a+c)+(b+d)aZ, bZ,cZ, dZ(a+c) Z, (b+d) Zx+y =(a+c)+(b+d) G， 又且不一定都是整数，不一定属于集合G五、小结： 六、附录：康托尔简介 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在18741876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面

11、上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托

12、尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世 集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿（I.Newton，16421727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开

13、始，柯西（A.L.Cauchy，17891857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，18151897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，18231891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，18541912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文

14、字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，18851955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯克莱因（F.Klein，18491925）不赞成集合论的思想数学家HA施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化，1918年，他在

15、哈勒大学附属精神病院去世七作业一选择题1.若A=(2，2)，(2，2)，则集合A中元素的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 集合A中的元素为(2，2)和(2，2)，故A中有2个元素.【答案】 B2.已知集合M=1，2，x2,则x满足( )A.x1且xB.x1C.xD.x1且x【解析】 x应满足x21且x22，即x1且x.【答案】 D3.集合方程(x2)2=0的解为( )A.0B.2，2C.2D.4【解析】 集合方程(x2)2=0的解是由方程(x2)2=0的解组成的集合，而此方程的解为2，故集合为2.【答案】 C4已知集合S=中的三个元素可构成ABC的三条边长，那么ABC一定不是

16、（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形答案：D 5下列四个集合中，是空集的是 （ ）A BC D二、填空题1.用符号“”或“”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_A，印度_A，英国_A；（2）若A=方程x2=1的解，则1_A；（3）若B=方程x2+x6=0的解，则3_B；（4）若C=满足1x10的自然数，则8_C，9.1_C. （5）设P=，则_P。（6）0_（7）1_。答案：（1） （2） （3） （4） （5）（6）（7）2设直线上的点集为P，则P=_。点（2，7）与P的关系为（2，7）_P。答案：3.集合1，2与集合2，1是否表示同一集合_；集合1，

17、2与集合(1，2)是否表示同一集合_(填“是”或“不是”).【解析】 根据集合中元素的无序性可知1，2=2，1；集合1，2是由1、2两数组成的集合，而(1，2)是由直角坐标平面内的一点(1，2)组成，故不是同一集合.【答案】 是 不是4.对于集合A2，4，6，若aA，则6aA，那么a的值是 .【解析】 aA，a2或a=4或a=6，而当a2和a=4时，6aA，a=2或a=4.【答案】 2或45.含有三个实数的集合可表示为a，1，也可表示为a2，a+b，0，则a2005+b2006的值为_.6已知，则B .三、解答题1考查下列每组对象能否构成一个集合？a著名的数学家；b某校2001年在校的所有高个

18、子同学；c不超过20的非负数；d方程在实数内的解；e直角坐标平面内第一象限内的一些点。解：a否。“著名的数学家”无明确的标准。b否。“高个子同学”无明确的标准。c能。d能。e否。“一些点”无明确的标准。2改用列举法表示下列集合：自然数中五个最小的完全平方数；。3改用描述法表示下列集合：2，4，6，8，10；2，3，4。解：（1）0，1，4，9，16；1，2；（3，2）。（2）*4设集合A=，B=，若，试判断与A、B的关系。解：。又，。，从而。5.已知数集2a,a2+a，求实数a所应满足的条件.【解】 由集合元素的互异性知，集合中的元素应满足的条件为：2aa2a，即a0且a1.6.若3a3,2a1,a24，求实数a.【解】 3a3,2a