第七章线性变换（习题二）

1、第七章 习 题 课（一）一、复习内容1、线性空间的值域、核的概念及表示法；2、线性变换的秩、的零度的概念；3、线性变换的秩、零度与线性空间的维数之间的关系；4、等式 是否成立？5、若是线性空间的一个线性变换，是的一组基，则 。若在基的矩阵是，则的秩为？6、不变子空间（ 子空间）的概念；7、线性变换的值域与核的概念。二、新课讲解1、设是维线性空间的线性变换，是中一个非零向量。证明：如果线性无关，而线性相关，那么1）是子空间；2）是包含的最小子空间。证明：1）因为线性无关，而线性相关，所以可以由线性表示。因此在下的象都在中，故是子空间。2）如果子空间包含，则包含的象，的象，的象，所以，即是包含的最

2、小子空间。2、 设是四维线性空间的一组基，已知线性变换这组基下的矩阵为2）求的值域与核；解：设在基的矩阵为，先求。令，它在下的坐标为，在下的坐标为，于是，解此方程组得一组基础解系为，所以令，因此是的一组基，且。再求。显然，故的维数为2，因为的前两列不成比例，所以，线性无关，是的一组基，即。3、1）设是线性变换的两个不同的特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是的特征向量；2）证明：如果线性空间的线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量，那么是数乘变换。解：1）因为，且，所以。（反证法）若是的特征向量，则有，故有，即，由于线性无关，故有。与是不同的特征值矛盾。所以不是的特征向量。 2）取的一组基

3、，并设，由1）知（否则，若时，则也不是特征向量，与题设矛盾）。从而对任何向量，都有，故是数乘变换。4、设是复数域上的维线性空间, 是的线性变换,且。证明：1）如果是的一特征值，那么是的不变子空间；2）至少有一个公共特征向量。证明：1） 设，则 ，所以，即 。故 是的不变子空间。2） 由于是的不变子空间，记，在复数域上，必有特征值，即有，使 。所以。而 ，故 ，因此 是 与的公共特征向量。5、补充题一、设矩阵可相似于对角矩阵，求和应该满足的条件.解：的特征多项式为， 故有特征值（二重），（一重）. 又可对角化当且仅当等于3减去的重数，即可对角化当且仅当。 而， ，故可对角化. 二、设矩阵相似于矩

4、阵，（1）求和的值.（2）求可逆矩阵，使.解：(1) 由于、B的行列式为，由题设、B相似，故，即，解得. (2) 由题设特征值为2,6. 解得的基础解系为. 解得的基础解系为. 所以. 三、对任意的,定义上线性变换，试求的核和值域.解：取的一组基 则，在该基下的矩阵为，即。若，令，则，故，即。次齐次线性方程组的解为，其中为数域中任意常数.的核为.的值域为.四、设的线性变换，试求的核和值域.解： 取的一组基， 则，在该基下的矩阵为，经初等行变换有，所以的解为，其中为数域中任意常数.的核为.的值域为.5、课堂练习设是线性空间的线性变换。1） 证明：是可逆的充要条件是且。2） 问：只有或者一个条件成立，是否能得出是可逆的线性变换。1） 证明：因为是可逆的充要条件是，既是单射又是满射。而既是单射的充要条件是；是满射的充要条件是。所以可逆的充要条件是且。2）证明：对于有限维线性空间来说，由于，因此 或者 一个条件成立，都可以推出是可逆的线性变换。但对于无限维线性空间来说，这一结论不成立。例如：，微商线性变换 ，满