众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系

1、1,众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系,用样本数字特征估计总体数字特征,2,一 众数、中位数、平均数的概念,中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数,众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数,众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.,3,平均数: 一组数据的算术平均数,即 x=,1、 平均数 :由数据及频率计算平均数,即 x = x1f1+x2f2+xkfk (其中fk是xk的频率。) 2、加权平均数 :由数据及其权数和样本容量计算平均数,

2、即 x = (x1n1+x2n2+xknk)/n (其中nk是xk的权数, n为样本容量, 且n1+n2 +nk=n. ) 3、 已知xn的平均数为x, 则kxn+b的平均数为kx+b。,平均数: 一组数据的算术平均数,即,4,二 、 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (在只有频率分布直方图的情况下，也可以估计总体特征,而且直方图比较直观便于形象地进行分析。),1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。 当最高矩形的数据组为a, b） 时, 那么(a+b)/2就是众数。,5,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

3、 4 4.5 月平均用水量(t) 例题分析:月均用水量的众数是2.25t.如图所示：(2+2.5)/2=2.25,6,2、从频率分布直方图中估计中位数 (中位数是样本数据所占频率的等分线。）,当最高矩形的数据组为a, b） 时, 设中位数为(a+X)，根据中位数的定义得知， 中位数左边立方图的小矩形面积为0.5， 列方程得： 当最高矩形的数据组之前所有小矩形的面积之和为fm；（频率直方图的面积计算，即组距乘以频率/组距。） x*最高矩形的(频率/组距)+ fm=0.5 求解X， 那么a+X即为中位数。,7,思考题：如何从频率分布直方图中估计中位数？,中位数左边立方图的小矩形面积为0.5,02的

4、小矩形面积之和为：,0.5(0.08+0.16+0.30+0.44)=0.49,0.44,0.50.490.01,0.01/0.5=0.02,如图在直线t2.02之前所有小矩形的面积为0.5,所以该样本的中位数为2.02,8,练习.（广东11变式题1）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为,，,，,分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产,的中位数 .,该产品数量在,由此得到频率,9,3、平均数是频率分布直方图的“重心”. 是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均数由公式:,X=,假设每组数据分别为a1, b1）、 a2, b2）

5、、 ak, bk）时, 且每组数据相应的频率分别为f1、 f2 、 fk;那么样本的平均数(或总体的数学期望)由下列公式计算即可。,10,由频率分布直方图估计样本平均数(或总体数学期望)公式：,X =( a1+b1)/2* f1+ (a2+b2)/2* f2+ (ak+bk)/2* fk (其中每组数据的频率还可以由频率直方图的面积计算而得，即组距乘以频率/组距。）,11,练习.（广东11变式题2）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为,，,，,分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产,的平均数 .,该产品数量在,由此得到频率,1

6、2,总体分布的估计,练习：对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：,（1）列出频率分布表；,（2）画出频率分布直方图；,（3）估计电子元件寿命在100h400h以内的概率；,（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；,（5）估计总体的数学期望.,13,总体分布的估计,14,总体分布的估计,15,思考：从样本数据可知，所求得该样本的众数、中位数和平均数，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？,频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.,注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总

7、体特征.,16,三、用频率分布直方图估计总体数字的特征 的利弊： 总体的各种数值特征都可以由两种途径来估计， 直接利用样本数据或由频率分布直方图来估计。 两种方法各有利弊；比如：,1、通过频率分布直方图的估计精度低；,2、通过频率分布直方图的估计结果与数据分组有关；,3、在不能得到样本数据，只能得到频率分布直方图的情况下，也可以估计总体特征,而且直方图比较直观便于形象地进行分析。,17,四、三种数字特征的优缺点 ：,（1）众数体现了样本数据的最大集中点，但它显然对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。,（2）中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是

8、优点，但它对极端值不敏感有时也会成为缺点.,（3）由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低。,18,1、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数 如下： 9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 _；,2、已知数据 的平均数是3，方差为2，求数据 的平均数、方差、标准差？,9.5，0.016,解：平均数是6，方差是8，标准差是 .,去掉最高分和最低分合理吗？,如果求 的平均数、方差、标准差？已知ai的平均数X、方差Y、标准差Z, 则b+kai的平均数是b+kx, 方差是k的平方与Y的乘积,标准差是k与Z的乘积。 (