高考数学解题技巧

1、高考数学解题技巧21高考数学解题方法第1计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性. 因此,以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.典例示范例题将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形 从莱布尼茨三角形可以看出,其中 .令，则 分析一看此题,图文并举,篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物从何

2、处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点的主意. 解 将等式与右边的顶点三角形对应（图右),自然有 对此，心算可以得到：n =1，r ，=1对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案. 插语 本题是填空题,只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面,点到成功. 要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出 = r+ 第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项. 解在三角形中先找到了数列首项，并将和数

3、列中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an 这个n，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项（虚线所串)所成数列的极限是0. 因此得到 这就是本题第2空的答案. 点评 解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数,采用的方法是以点串线三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案 事实上,三角形中的任何一个数（点)都有这个性质. 例如从这个数开始,向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限)就是这个数的左上角的那个数.用等式表示就是 链接 本题型为填空题，若改编成解答题,那就不是只有4分的小题，而是一个1

4、0分以上的大题. 有关解答附录如下. 法1 由知,可用合项的办法，将的和式逐步合项. 法2第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为,故,从而法3（2）将代入条件式，并变形得取令得 ， 以上诸式两边分别相加，得 说明以上三法,都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义 对应训练1如图把椭圆的长轴ab分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于p1，p2,，p七个点,f是椭

5、圆的一个焦点,则1|+|p|+|7f|=_.如图所示,直三棱柱abca1b1c1中,p,分别是侧棱a,上的点,且ap=c,则四棱锥b11pqc1的体积与多面体acpb1q的体积比值为 . 参考解答1.找“点”椭圆的另一个焦点f2 连接p12、2f2、p7f2，由椭圆的定义fp5+p5 f2 = 2 10如此类推f1p1f2 f+ f= =fp7 7f2 = = 70由椭圆的对称性可知,本题的答案是7的一半即35.2.找“点”动点、q的极限点.如图所示，令a1= = .即动点p与a1重合，动点q与c重合.则多面体蜕变为四棱锥ca11b，四棱锥蜕化为三棱锥ca1b1c1.显然v棱柱=于是奇兵天降答

6、案为.点评“点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”,而一个球 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”球能不断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的.一是知识内容,二是思想方法 基本的数学思想并不多，只有五种:函数方程思想,数形结合思想,划分讨论思想，等价交换思想，特殊一般思想. 数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想

7、方法能与题目对上号.典例示范题1 对于r上可导的任意函数f（）,若满足（x-) （），则必有a. (0)f()f（）分析 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是：分类讨论思想. 这点在已条件(x-1)(）0中暗示得极为显目.其一,对f()有大于、等于和小于0三种情况；其二,对-1,也有大于、等于、小于0三种情况.因此,本题破门,首先想到的是划分讨论.解一 (）若() 0时,则(x）为常数：此时选项b、c符合条件.（ii）若(x）不恒为时. 则(）0时有1,f(x）在上为增函数；f（x)0时x 1.即f(x)在上为减函数. 此时,选项c、符合条件综合（），（ii），本题的正确答案为.插语

8、 考场上多见的错误是选d. 忽略了f(） 0的可能. 以为(x-1)(x）0中等号成立的条件只是-10,其实x1=与f()=的意义是不同的:前者只涉x的一个值，即x1,而后是对x的所有可取值，有f（x) 0再析 本题f（）是种抽象函数,或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中,又是一些具体的函数值f(0），f（1)，(2).因此容易使人联想到数学:一般特殊思想.解二()若f(x)=0,可设f（x）=1. 选项、符合条件.(ii）f（x)0 可设f() =（x-1)2 又 f（x)=(x-1)满足(x-1) f(x) =(x-1)0，而对 f （x)= (-1）2. 有f(0）f（2)

9、=，f(1）=0选项c，符合条件 综合(i）,(i）答案为.插语 在这类(x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-）. 如果在同类中找到了(x-1）4 ,(x-1） ,自然要麻烦些 由此看到，特殊化就是简单化.再析 本题以函数（及导数）为载体.数学思想“函数方程（不等式)思想”贯穿始终，如由f(x）0找最值点x ,由 （)0(0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到解三（i）若f （0)f (1)= （2）,即选b，c，则常数 (x） = 1符合条件.（右图水平直线）（i)若f（0）= f (2） (1)对应选项c，d（右图下拱曲线）. 则

10、满足条件(x-） f (x).探索 本题涉及的抽象函数 ()，没有给出解析式,只给出了它的一个性质：(x-1） (x)0,并由此可以判定f (0）+ (2) f(1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数变题 以下函数(x)，具有性质(x-1） f （)0从而有f (0)+ f (2) 2 f （1）的函数是a. （)= (x-1）3.f(）= （x-1) c. (x)=(x1) d. f(x) (x-1)解析 对， (0)= -1, f() =1，f (1)=0,不符合要求;对b，f ()无意义； 对c,f （0) -1， f(2) 1,f （)0,不符合要求;

11、答案只能是.对d,f (0)=1， （1）=， (2）.且f （x)=(x-1) 使得 (x-1） f(x) (x-1）(-1)0说明 以x1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数 如f(x）=(x-1) ,其中m,n都是正整数，且.点评 解决抽象函数的办法,切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”,抽象函数具体化,这是“一般特殊思想”在解题中具体应用题 已知实数x,y满足等式 ，试求分式的最值。分析 “最值”涉及函数，“等式”连接方程,函数方程思想最易想到解一(函数方程思想运用)令 y = k(-5) 与方程联立消,得： 根据的范围应用根的分布得不等式组:解得 即 即所求的最小值

12、为,最大值为.插语 解出,谈何易！十人九错,早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.解二 (数形结合思想运用)由得椭圆方程 ，0看成是过椭圆上的点（x，y），(5,0）的直线斜率(图右).联立 得 令得，故的最小值为，最大值为.插语这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此,滚动开门，不仅要善于“滚到”,还要善于“滚开”.点评“西瓜开门”把运动学带进了考场解题 滚动能克服解题的思维定势.解题时,要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”,在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”.总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.对应训练1.若动点p的坐标为(x,)，且lgy，l|

13、x|,lg成等差数列，则动点的轨迹应为图中的 （ ）2.函数y=1- (-1x0)的反函数是（ ).y=-(0x1) y= (x)c.y= (-1x) d. y (-0,a2b+0,则下列结论中正确的是 ( )a.b2ac b.b2ac c.2ac且0 d.b2ac且a0且yx.选项b中无x时,由lgy+g2l|x|，化简可得(x+y)(2xy)=0=-x或2x(，y）.【思考】 分析各选项,仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.原函数定义域为-1x0，其反函数值域为1y0，排除b、d.原函数中f(-1)=1，反函数中f-(1)=1,即x时f-1

14、(x)有定义，排除c，选a.3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若真,则b也真;若真，则也真,故c、皆假.取符合条件a-4b+c0，a+2b+0,（1）=+2b0,即a,故选b【点评】 在解题时易受题设条件的干扰，企图从已知不等式出发:ba+c, 20,先求椭圆和线段ab有公共点时的取值范围.易得线段a的方程为yx+，1,3,由方程组，x1,3,a的值在1,3内递增,且1和x3时分别得a=或=,故a2.a0,.故当椭圆与线段b无公共点时，a的取值范围为0.第4计 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星,靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀,“水淹七军”

15、用这大刀. 数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者,七刀也,分者,八刀也！再难的数学题,经过这七刀、八刀,最后不就粉碎了吗!典例示范例如图，在长方体abcab1d1中,e、分别是b、a1的中点，m、n分别是ae、c1的中点，daa1=a,b=2a.(）求证:n面ad1;（)求二面角ae的大小;（)求三棱锥pden的体积.分析这是个长方体,而“长”正好是“宽”和“高”的倍,这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体.对于正方体,我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.解取1c的中点q ,过q和m作

16、平面qs. 显然，m、n都在这平面里.易知qn和sm都平行于平面c1bmnbcmn面ad11（证毕）.插语 其所以这么简单,是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来,感谢关羽的大刀之功. 以后的（）和()，都可转化到正方体里进行（从略）.【例2】 设p0是一常数,过点q(2,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点、b,以线段ab为直径作圆（h为圆心）.()试证：抛物线顶点在圆的圆周上；()并求圆的面积最小时直线ab的方程【分析】 （)ab是圆h的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策:(1)证|oh=ab.(2）证|2+|b|2=|a|(3)证aob90,即oaob，等显然，利用向量

17、知识证=0,当为明智之举.【解答】 (）当bx轴时,直线ab的方程为x=2,代入y2=2px；242,y=p，|b|y-y|4p.显然,满足|=|a,此时q、h重合，点q在上.如直线a与轴不垂直，设直线b:y=tan(-2p)，x=，代入:y=tan-2pn即tay-2py-2tn=此方程有不同二实根y1,y1+2=,1y2-42.=x1x+y1y2=+1y=-4p=0.,故点o仍在以ab为直径的圆上.【分析】 ()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径a之长的函数表达式,直观上我们已可推测到当ab轴时，弦ab之长最短(这就是论证方向),为此又有多种途径:（1)用直线的点

18、斜式与抛物线方程联立，得关于（或y)的一元二次方程，利用韦达定理写出|ab|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立,得关于参数t的一元二次方程,利用韦达定理写出|ab|2（-2）的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长,但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐,利用投影公式得出的|a|函数式,只牵涉一个变量.【解答】（)直线ab的倾角为,当=0时,h的半径为2p,sh4p.当时,不妨设,),则综上,|abmin=4,当且仅当=90时,(s）mi4p2,相应的直线a的方程为：x=2p.别解:由(1)知恒有ob=.|2|

19、 2x1x2+2(1x)21x2p.y1y=-4p,1x2=于是|1p2， min=4.当且仅当x12p时，h4p.【点评】斧子开门，只要你说要进去,直接在墙上打洞最直接了.对应训练1.已知函数（)=1ax2+ax+anxn,nn,且a，a2,an构成一个数列a,满足f(1)n2.(1）求数列an的通项公式,并求之值.(2)证明0f旁白才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语. 评语 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.解二作差比较法-=1 旁白 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪于是才子有了如下的自评.自评标新本来在立意,别人作商我作积，结果可由心算出，不

20、用花费纸和笔.旁白 这时,上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？才子回答:当然能!不过需要“统一单调区间”，请看下解正解 （x) f(x)ln(x3) 旁白 大家一看,齐声说妙,要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.评语因为数3比e大,单调区间从划，数4也在本区间,故把数2搬个家.【例1】已知向量a（，），b是不平行于轴的单位向量,且b=，则b( )a(，） (,） c（) d.(，)【特解】 由|b|=1,排除c;又b与x轴不平行，排除d；易知b与a不平行，排除.答案只能为b【评说】 本解看似简单，但想时不易,要看出向量与a()是平行向量，一般考生不能做到.

21、【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量,可排除c、d两项. 又a=,将代入不满足题意,所以答案只能为b.【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案，思维量很大,到a、b选项时还需动手计算,真是淘尽黄沙始是金啊！【另解】 设b=(cos,si)，则b=（,1)（cos,si)= co+sinsin(6+)=在区间(0,)上解得:=60.故=().【评说】 本题涉及解三角方程,并确定解答区间,这不是一个小题的份量【错解】 选a者，误在(,选者,误在|（)|=1.选d者,没有考虑到(1,0）与x轴平行.【评说】 本题三个假支的设计,其质量很高,各有各的错因，相信各有各的“选择人”对应训练.若奇函数(

22、x)在(0,)上是增函数,又f(3),则x|xf(x）0等于 （ ）ax|x或-30 b.0x或x- d.|0x3或3x02.某工程队有项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答）参考答案.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手,结合其草图即可写出所求答案解析一 由f(x)为奇函数且f（-3)=0,得f（)=0.又f（x)在(0，+）上是增函数,据上述条件作出满足题意的yf（x)草图（如图(）,在图中找出f(x）与x异号的部分，可以看出xf(x)0的解集为x

23、|0x3或x0,选. (1) （2)解析二 由f(3）0得f(3)=0，又(x)在（0,)上为增函数,作出=(x)(x0）的草图(如图（2)）,、(x)均为上的奇函数,xf(x)为偶函数,不等式xf(x)0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0x3，由对称性得xf(x)0的解集为x3或-3,故选d.解析三借助图（1)或图（2），取特殊值x2,知适合不等式x(x),且(-3)=0， 则不等式f (x)g()0的解集是 （ ）a.(-3，）(3,+) b.(-，0)（0，).（,-)（3,+) d.(-,-3)(0,)【解答】 设f(x)= f (x)g（x）,当xf(x)在r上为增函数(-x)=

24、 (x）g (-x) （x）g ().=-(）.故f（x)为（,0)（0,+）上的奇函数.f(x)在上亦为增函数已知(-3)=0，必有f(-3)=f(3)=0.构造如图的f（x)的图象，可知 例3题解图f(x)0的解集为x(-,-）(,3).【点评】 本例选自04湖南卷2题,是小题中的压轴题，显然，不懂得导数基本知识对待本例是无能为力的，高中 代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”本题还构造了图形，使问题更有说服力.对应训练1下列命题正确的是 ( )若an和的极限都不存在,则n+bn的极值一定不存在b.若an和n的极限都存在,则an+b的极限一定存在.若an+bn的极限不存在,则an和b

25、n的极限都一定不存在d.若n+bn的极限存在,则an和bn的极限要么都存在，要么都不存在.过定点m (1,0)且斜率为k的直线与圆x2+x+y2-5=在第一象限内的部分有交点,则的取值范围是 （ ).0k b.k0 c.0ka0;kmnkmb.故知， k(0,)， 选 第2题解图3.a t3=c(x)2=36 (2）2=， 2x=8, x=, =(0,1).数列是首项与公比均为的无穷递缩等比数列.原式=. 选第7计模特开门见一知众计名释义一时装模特,在表演时，自己笑了,台下一片喝彩声.她自感成功,下去向老板索奖 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子,模是目的.模特

26、表演是不能笑的. 试想,模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢?所以,模特一笑，特在模掉!数学的特殊性（特值)解题,既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性(代表性）,这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性.选择题中的“特值否定”,填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.典例示范【例1】 如果() .og(1-a)(+a）0（1-a)(1+)2 .(1a)1+a1【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值,作为本题的模特.令a=,各选项依次化为: （ ）a. b . d. 显然,有且仅有a是正确的,选a.【点评】 本

27、题是一个选择题,因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.你还需要讲“道理”吗?为减函数，og0,b不对；也是减函数,d不对；直接计算,也不对；只有是对的【例2】 已知定义在实数集r上的函数yf （)恒不为零,同时满足: （x+)f（)f (y),且当x时,f (x）1,那么当x时，一定有 （ )a.f()1 b.-f (x）1 d0f(）0时,f (x）1,根据指数函数的性质,当x时，02x1即0 f (）1. 选d.【点评】 题干中的函数抽象,先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底,选定最简单且又符合题意的函数y2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找

28、出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？【思考2】 取特值令=0, =, 有f (） = f (0）2（ f (x）0), 则f (0)=, f (0)= f (-x)= f(x） (-x)， 即, 当1， 故x0时, 0 ()1.【例3】 若a, , c是b的三个内角,且abc(c), 则下列结论中正确的是（ )a.snsi .cosacsc cantanc .ctact【思考】 本题的模特是取特殊角.令a3, b 4,c=105, 则cosc0,anc0,cot0，由图(）知(x）0，故当x（, -1）时,应有y f ()g(x)0. 选

29、b.点评 无须弄清图（1)、图（2）到底表示什么函数,不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f ()g（x)的图像只须鉴别四类图像哪一个符合题意,选定特殊区间（-，1）一次检验即解决问题.第8计小姐开门 何等轻松计名释义有一大汉，想进某屋.门上并未加锁,但他久推不开，弄得满头大汗.后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉!”大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问:“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”小姐答:“因为我看到你推了半天，门还不动,那就只有拉了！”数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难,那就回头是岸，向反方向走去.典例示

30、范【例】 求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线?人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”,假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为=2p. 假定此抛物线有渐近线y=x+， x=, 代入直线方程，化简得:22py2pb=0. 可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处,即如方程有实根0, 那么,y,或, 方程化为:2pby2-2py+k=0 方程应有唯一的零根, y0代入得:k=0.于是抛物线的渐近线应为y=b 这是不可能的,因为任意一条与x轴平行的直线yb， 都和抛物线有唯一公共点（), 因而=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.【