线性方程组数值解法总结

1、好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线

2、性方程组。首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解，这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法：function b= qiandai_method(L,b)n=size(L,1); %n 矩阵L的行数for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码：后代法：function y=houdai_method(U,y)

3、n=size(U,1); %n 矩阵L的行数for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);Gauss消去的前提就是这两个算法：具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。那么具体怎么做呢？有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把

4、A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L=L(n-1)L(n-2)L2L1，而LA=U,那么L=L的转置，这样就得到了A得分解。我们要求Ax=bA=LU因此可以利用前代法先求Ly=b,得到yUx=y回代法求解x，这样就可以得到线性方程组的解。高斯消去：function b=Gauss(A,b)n=size(A,1);for k=1:n-1 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=zeros(n,n); %L为下三角矩阵U=z

5、eros(n,n); %U为上三角矩阵for i=1:n; %求解L，为A的对角下半部分 L(i+1:n,i)=A(i+1:n,i);endU=A-L;L=L+eye(n); %将L的对角位置设为1if(rank(L)n|rank(U)n) %提醒，如果L或U求出的秩小于n报错 error(输入的矩阵无法进行高斯分解（前代|后代法无法调用）);endn=size(b);y=ones(n);y=qiandai_method(L,b);x=houdai_method(U,y);给一个测试案例：function test1A = 1 3 6 8 9 2; 2 5 3 1 6 3; 3 6 1 2 8 5; 2 6 8 9 3 8; 5 8 9 3 2 3; 3 5 8 1 7 2;b= 2; -3; 2;55;16;-6;b=Gauss(A,b)但是注意这个解法并不是完美的，如果A 的顺序主子式不是全为非