第二十二章 二次函数教案

1、第二十二章二次函数221二次函数的图象和性质221.1二次函数1 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系2理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式3会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围重点二次函数的概念和解析式难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮

2、时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；(3) 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)(一)教师组织合作学习活动：1先个体探求

3、，尝试写出y与x之间的函数解析式2上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨(1)yx2(2)y20000(1x)220000x240000x20000(3)y(60x4)(x2)x258x112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的形式板书：我们把形如yax2bxc(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系

4、数和常数项三、做一做1下列函数中，哪些是二次函数？(1)yx2(2)y(3)y2x2x1(4)yx(1x)(5)y(x1)2(x1)(x1)2分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)yx21(2)y3x27x12(3)y2x(1x)3若函数y(m21)xm2m为二次函数，则m的值为_四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第41页第1，2题.22.1.2二次函数yax2的图象和性质通过画图，了解二次函数yax2(a0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的

5、内在关系，能运用相关性质解决有关问题重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数yax2的性质，掌握二次函数解析式yax2与函数图象的内在关系难点画二次函数yax2的图象一、引入新课1下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y3x1(2)y2x27(3)yx2(4)y3(x1)212一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的yax2的图象和性质二、教学活动活动1：画函数yx2的图象(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)(2)提出问题：它的形状类似于

6、什么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点活动2：在坐标纸上画函数y0.5x2，y2x2的图象(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程(2)引导学生观察二次函数y0.5x2，y2x2与函数yx2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：它们都是抛物线；除顶点外都处于x轴的下方；开口向下；对称轴是y轴；顶点都是原点(0，0)不同点：开口大小不同(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数yax2是当a0时的情况系数a越大，抛物线开口越大活动3：在同一个直角坐标系中画函数yx2，y0.5x2，y2x2的图象类似活动2：让学生归

7、纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数yax2(a0)的图象和性质二次函数yax2(a0)的图象和性质图象(草图)开口方向顶点对称轴最高或最低点最值a0当x_时，y有最_值，是_.a0当x_时，y有最_值，是_.活动4：达标检测(1) 函数y8x2的图象开口向_，顶点是_，对称轴是_，当x_时，y随x的增大而减小(2)二次函数y(2k5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为_(3)如图，yax2；ybx2；ycx2；ydx2.比较a，b，c，d的大小，用“”连接_答案：(1)下，(0，0)，x0，0；(2)k2.5；(3)abdc.三、课堂小结与作业布置课堂小结1二次函数的图

8、象都是抛物线2二次函数yax2的图象性质：(1)抛物线yax2的对称轴是y轴，顶点是原点(2)当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小作业布置教材第32页练习221.3二次函数ya(xh)2k的图象和性质1经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义2了解yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k三类二次函数图象之间的关系3会从图象的平移变换的角度认识ya(xh)2k型二次函数的图象特征1、从图象的平移变换的角度认识ya(xh)2k型二次函数的图象特征 2、对于平移变换的理解和确定，学生较难理解一、复

9、习引入二次函数yax2的图象和特征：1名称_；2.顶点坐标_；3.对称轴_；4.当a0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线上的最_点，图象在x轴的_(除顶点外)；当a0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线上的最_点，图象在x轴的_(除顶点外)二、合作学习在同一坐标系中画出函数yx2，y(x2)2，y(x2)2的图象(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数yax2和ya(xh)2图象之间的关系1结合学生所画图象，引导学生观察y(x2)2与yx2的图象位置关系，直观得出yx2的图象向左

10、平移两个单位得y(x2)2的图象2用同样的方法得出yx2的图象向右平移两个单位得y(x2)2的图象3请你总结二次函数ya(xh)2的图象和性质yax2(a0)的图象 得ya(xh)2的图象函数ya(xh)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线xh.4做一做(1)抛物线开口方向对称轴顶点坐标y2(x3)2y3(x1)2y4(x3)2(2)填空：抛物线y2x2向_平移_个单位可得到y2(x1)2；函数y5(x4)2的图象可以由抛物线_向_平移_个单位而得到四、探究二次函数ya(xh)2k和yax2图象之间的关系1在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y(x2)23的图象首先引导学生观察比较y(

11、x2)2与y(x2)23的图象关系，再引导学生观察刚才得到的yx2的图象与y(x2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线yx2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y(x2)23的图象2做一做：请填写下表：函数解析式图象的对称轴图象的顶点坐标yx2y(x2)2y(x2)233.总结ya(xh)2k的图象和yax2图象的关系yax2(a0)的图象ya(xh)2的图象ya(xh)2k的图象ya(xh)2k的图象的对称轴是直线xh，顶点坐标是(h，k)口诀：(h，k)正负左右上下移(h左加右减，k上加下减)从二次函数ya(xh)2k的图象可以看出：如果a0，当xh时，y随x的

12、增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大；如果a0，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小4练习：课本第37页练习五、课堂小结1函数ya(xh)2k的图象和函数yax2图象之间的关系2函数ya(xh)2k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质六、作业布置教材第41页第5题22.1.4二次函数yax2bxc的图象和性质(2课时)第1课时二次函数yax2bxc的图象和性质1掌握用描点法画出二次函数yax2bxc的图象2掌握用图象或通过配方确定抛物线yax2bxc的开口方向、对称轴和顶点坐标3经历探索二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，

13、理解二次函数yax2bxc的性质重点 通过图象和配方描述二次函数yax2bxc的性质难点 理解二次函数一般形式yax2bxc(a0)的配方过程，发现并总结yax2bxc与ya(xh)2k的内在关系一、导入新课1二次函数ya(xh)2k的图象，可以由函数yax2的图象先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到2二次函数ya(xh)2k的图象的开口方向_，对称轴是_，顶点坐标是_3二次函数yx26x21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、教学活动活动1：通过配方，确定抛物线yx26x21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图(1)多媒体展示画法(列表，描点，

14、连线)； (2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数yx22x3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2你能画出函数yx22x3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？活动3：对于任意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你

15、能把结果写出来吗？(1)组织学生分组讨论，教师巡视；(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数yax2bxc(a0)和yax2bxc(a0)的图象(3)引导学生观察二次函数yax2bxc(a0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？(4)引导学生归纳总结二次函数yax2bxc(a0)的图象和性质活动4：已知抛物线yx22ax9的顶点在坐标轴上，求a的值活动5：检测反馈1填空：(1)抛物线yx22x2的顶点坐标是_；(2)抛物线y2x22x1的开口_，对称轴是_；(3)二次函数yax24xa的最大值是3，则a_.2写出下列抛物线的开口方

16、向、对称轴和顶点坐标(1)y3x22x；(2)y2x28x8.3求二次函数ymx22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质4抛物线yax22xc的顶点是(1，2)，则a，c的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x；(3)1；2.(1)开口向上，x，(，)；(2)开口向下，x2，(2，0)；3.对称轴x1，当m0时，开口向上，顶点坐标是(1，3m)；4.a1，c3.三、课堂小结与作业布置课堂小结 二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质 作业布置 教材第41页第6题第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定

17、系数法求二次函数的解析式2能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性3能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质 重点 二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质难点 利用图象观察性质一、复习引入1抛物线y2(x4)25的顶点坐标是_，对称轴是_，在_侧，即x_4时，y随着x的增大而增大；在_侧，即x_4时，y随着x的增大而减小；当x_时，函数y最_值是_2. 抛物线y2(x3)26的顶点坐标是_，对称轴是_，在_侧，即x_3时，y随着x的增大而增大；在_侧，即x_3时，y随着x的增大而减小；当x_时，函数y最_值是_二、例题讲解例1根

18、据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图象经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，2)；(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；(3)函数图象的对称轴是直线x3，且图象经过点(1，0)和(5，0)说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷例2已知函数yx22x3，(1)把它写成ya(xh)2k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点

19、坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，y0；y0?说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；（2）利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y0抛物线开口向_a0抛物线对称轴在y轴的_侧b0抛物线对称轴是_轴0抛物线与y轴交于_c0抛物线与y轴交于_c0抛物线与y轴交于_三、课堂小结本节课你学到了什么？四、作业布置教材第40页练习1，2.22.2二次函数与一元二次方程 1 总结出二次函数

20、的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解3会用计算方法估计一元二次方程的根重点 方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解难点 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系一、复习引入1二次函数：yax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立2二次函数yax2bxc(a0)的图象和性质：(1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)

21、增减性与最值当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x时，函数y有最小值.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x时，函数y有最大值.二、新课教学探索二次函数与一元二次方程：二次函数yx22x，yx22x1，yx22x2的图象如图所示(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x22x0，x22x10有几个根？验证一下一元二次方程x22x20有根吗？(3)二次函数yax2bxc的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2bxc0的根有什么关系？归纳：二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种

22、情况：有两个交点，有一个交点，没有交点当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0ax2bxc的两个根x1与x2；当b24ac0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点举例：求二次函数图象yx23x2与x轴的交点A，B的坐标结论：方程x23x20的解就是抛物线yx23x2与x轴的两个交点的横坐标因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的即：若一元二次方程ax2bxc0的两个根是x1，x2，则抛物线yax2bxc与x轴的两个

23、交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)例1已知函数yx27x，(1) 写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；(2) 自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值三、巩固练习请完成课本练习：第47页1，2四、课堂小结 二次函数与一元二次方程根的情况的关系五、作业布置 教材第47页第3，4，5，6题.22.3实际问题与二次函数(2课时)第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型利用二次函数yax2bxc(a0)图象的性质

24、解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题重点 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题难点 1读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型2理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系一、复习旧知，引入新课1二次函数常见的形式有哪几种？二次函数yax2bxc(a0)的图象的顶点坐标是_，对称轴是_；二次函数的图象是一条_，当a0时，图象开口向_，当a0时，图象开口向_2二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h30t5t

25、2(0t6)小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2如果你是老板，你会怎样定价？3以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为_元，每件利润为_元，每星期少卖_件，实际卖出_件所以y_.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2

26、) 若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为_元，每件利润为_元，每星期多卖_件，实际卖出_件所以y_.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少

27、？答案：(1)yx180；(2)w(x100)y(x140)21 600，当售价定为140元，w最大为1 600元三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置 教材第5152页习题第13题，第8题第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型 重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用二、教学过程问题1：