复变函数期末考试复习题及答案详解

1、复变函数考试试题（一)1、 _.(为自然数）2 _.函数的周期为_.4.设,则的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.若函数f()在整个平面上处处解析,则称它是_.若,则_.8._，其中n为自然数. 的孤立奇点为_.10.若是的极点,则.三计算题(4分):1. 设,求在内的罗朗展式2. 3 设,其中,试求4. 求复数的实部与虚部四. 证明题.（20分)1.函数在区域内解析证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值复变函数考试试题（二)二. 填空题.（20分)1. 设,则2.设,则_3 _.(为自然数

2、) 4 幂级数的收敛半径为_ .5. 若是f（z)的m阶零点且m，则z0是的_零点6 函数z的周期为_ 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8 设，则的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题 (4分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分:,积分路径为(1)单位圆(）的右半圆.4. 求 四证明题. (0分)1. 设函数f()在区域d内解析，试证：f()在d内为常数的充要条件是在内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试

3、试题（三)二. 填空题 （20分）1 设，则(z)的定义域为_2 函数ez的周期为_.3. 若，则_.4_5. _.（为自然数）6 幂级数的收敛半径为_. 设，则f(z)的孤立奇点有_. 设，则.9. 若是的极点，则.10.三 计算题. （分)1 将函数在圆环域内展为luent级数.2 试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分:，其中是. 4. 求在|z1内根的个数.四. 证明题. （20分)1. 函数在区域内解析. 证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数及m，使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四)二 填

4、空题. (0分)1设,则.2.若，则_3. 函数z的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是_. 若函数(z)在区域d内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d内的_ 设,则8 的孤立奇点为_. 若是的极点，则.10. _.三. 计算题(40分）1. 解方程. 设，求3. 4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点,指明它的阶数).四 证明题. (20分)1. 证明：若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根复变函数考试试题(五)二. 填空题.（0分)1. 设,则.2. 当时，为实数.3. 设,则.4. 的周期为_5设，则

5、.6. .7. 若函数f(z)在区域d内除去有限个极点之外处处解析,则称它是内的_。8 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_10. 设c是以为a心，为半径的圆周，则(为自然数）三.计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算积分：，在这里l表示连接原点到的直线段.3. 求积分:，其中01.4. 应用儒歇定理求方程，在|1内根的个数，在这里在上解析,并且.四.证明题.(0分)1. 证明函数除去在外，处处不可微. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数,以及两个数r及m,使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题(六）一、 填空题（20分）1. 若,则_.

6、2. 设，则的定义域为_.3. 函数的周期为_4. _5. 幂级数的收敛半径为_6. 若是的阶零点且，则是的_零点.7. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是_8. 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆内的零点个数为_10. 公式称为_.二、 计算题（3分）、.2、设,其中，试求3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式、求复数的实部与虚部6、求的值.三、 证明题(20分)1、 方程在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.3、 若是的阶零点，则是的阶极点6计算下列积分.(8分）(1) ; （2) 7计算积分（6分）8.求下列幂级数的收敛半径（6分）() ；

7、 (）设为复平面上的解析函数，试确定,的值(6分）三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析,证明必为常数.（分).试证明的轨迹是一直线，其中为复常数,为实常数（分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一)参考答案二.填空题. ； 2. 1; 3 ，； 4. ； . 16 整函数; .； 8. ； . 0; 10. .三计算题.1解 因为所以 .2. 解 因为 ，.所以3解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内， . 所以.4. 解 令,则 . 故 ， 四. 证明题.1. 证明 设在内. 令.两边分别对求偏导数，得 因为函数在内解析, 所以代入 （2) 则上述方程组变为. 消去得,.1

8、) 若， 则 为常数.2) 若， 由方程 (1） (） 及 方程有 , .所以. (为常数）.所以为常数2 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为， 故.复变函数考试试题（二)参考答案二 填空题.1，, ； . ； 3. ； 4. 1; 5. 6. ，. 7. 0； 8. ; 9. ; 10 0三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值，所以.

9、所以3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四.证明题.1. 证明 (必要性）令,则. (为实常数）. 令则 即满足,且连续，故在内解析.（充分性) 令, 则 ， 因为与在内解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.2 即要证“任一次方程 有且只有 个根”. 证明令,取, 当在上时， 有 . 由儒歇定理知在圆 内， 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.复变函数考试试题(三)参考答案二.填空题.1.; 2. ； . ； 4. 1; .;6.1; 7 ； 8. ; 9. ; 10. .三 计算题1. 解 2.解

10、 所以收敛半径为. 解 令 , 则 .故原式4.解 令 ， 则在上均解析，且，故由儒歇定理有 . 即在 内, 方程只有一个根四. 证明题.证明 证明 设在内 令. 两边分别对求偏导数， 得 因为函数在内解析, 所以.代入 （2) 则上述方程组变为. 消去得, ) , 则 为常数.2) 若, 由方程 (1） (2）及 方程有 , .所以. （为常数)所以为常数.2 证明取 , 则对一切正整数 时， . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题(四)参考答案.二 填空题. ,; 2. ; ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 70; 8.; 9. ；

11、 1. 三. 计算题.1. 2. 解 ,. 故原式3. 解原式.4 解 =，令,得,而 为可去奇点 当时, 而 为一阶极点.四. 证明题.1. 证明设,在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 而, 在上半平面内,已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析. 证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, ,故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.复变函数考试试题（五)参考答案一. 判断题.1. .5. 6. . . 10.二.填空题.1.， ， ； . ; 3, ; 4. ; . ; 6. 0; 7.亚纯函数; 8. ; 9. 0; 0.

12、 . 三 计算题. 解令, 则 . 故 , .2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故. 令, 则. 当时, 故, 且在圆内只以为一级极点,在上无奇点, 故,由残数定理有.4.解 令 则在内解析， 且在上, ,所以在内, ,即原方程在 内只有一个根四 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有 故, 即是一个至多次多项式或常数复变函数考试试题(六）参考答案二、填空题:1. 3. . 1 5. 1 6. 阶 . 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式

13、 三、计算题：1. 解:因为 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 解: .解：设, 则 6解:四、1 证明:设则在上， 即有 根据儒歇定理,与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6,故在单位圆内的根的个数为6. 2.证明:设,则, 由于在内解析,因此有 ， .于是故，即在内恒为常数. 3.证明:由于是的阶零点，从而可设 ，其中在的某邻域内解析且,于是 由可知存在的某邻域,在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.复变函数模拟考试试题复变函数考试试题(一）一、 判断题(410=40分)：1、若函数f(）在z0解析,则f（z)在z0的某个邻域内可导。( )2、有界整函数必在整个复平面为常数。(

14、 )、若函数在内连续，则u(,）与v(,y)都在内连续。（ )4、cos z与sin z在复平面内有界。（ )5、若z0是的阶零点，则z是1/的阶极点。( )6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则(z）在z0解析。( )7、若存在且有限，则0是函数的可去奇点。( )8、若f(z)在单连通区域d内解析，则对d内任一简单闭曲线c都有。（ ）9、若函数f(z)是单连通区域内的解析函数，则它在d内有任意阶导数。（ ）1、若函数（z)在区域内的解析，且在d内某个圆内恒为常数,则在区域d内恒等于常数。（ )二、填空题（4x5=20分）1、若是单位圆周，是自然数,则_。2、设,则_。、设，则(z)的定

15、义域为_。、的收敛半径为_。5、_。三、计算题（8x=40分):、设,求在内的罗朗展式。2、求。3、求函数的幂级数展开式。4、求在内的罗朗展式。、求,在|z1内根的个数。复变函数考试试题（二） 一、判断题(4x040分）：1、若函数f（z)在0解析,则(z）在z0连续。( ）2、有界整函数必为常数。( ）、若收敛,则与都收敛。( )4、若f（z)在区域内解析，且，则(常数)。（ ）5、若函数f(z）在处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）6、若f()在0解析，则(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（ ）7、若函数f(z)在0可导，则f()在0解析。（ )8、若(z)在区域内解析，

16、则f(z)|也在内解析。（ )、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。( ）10、co z与in 的周期均为。（ ）二、填空题(45=20分）1、_。2、设,则()的孤立奇点有_。3、若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是_。4、 _。5、若函数f(z)在区域内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d内的_。三、计算题(8x=40分）:1、2、求3、4、求在内的罗朗展式。5、求在|z|,则0是的_零点。7、若函数f(z）在区域d内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d内_。、8、函数的不解析点之集为_。、_,其中n为自然数。1、公式称为_.三、计算题(8x54分）:1、设,其

17、中，试求2、求。、设,求、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求四、证明题（6+=20分）：、设是函数f(z)的可去奇点且,试证：。2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且，则。、证明方程在内仅有3个根。复变函数考试试题(四） 一、判断题(3x10=3分）：、若函数f(z)在z0解析,则f(z）在的某个邻域内可导。（ )、如果z0是(z)的本性奇点，则一定不存在。（ )3、若存在且有限，则z0是()的可去奇点。( )4、若函数f（)在z0可导,则它在该点解析。（ )、若数列收敛,则与都收敛。( ）6、若f()在区域d内解析，则|f()|也在d内解析。( ）7、若幂级数的收敛半径大于0,则其和函数必在收敛圆内解析。（）8、存在整函数f（z）将复平面映照为单位圆内部。( )、若函数f(z）是区域d内的解析函数,且在d内的某个圆内恒等于常数，则f(z）在区域d内恒等于常数。（ )10、。( ）二、填空题(20=20分）1、函数z的周期为_。、幂级数的和