数值分析复习之数值积分与数值微分

1、第四章 数值积分与数值微分一、纲要数值积分与数值微分一章中主要的要点如下：、 数值积分的提法、插值型求积公式的导出及其余项估计、 低阶数值积分公式及其余项的估计、 数值积分的加速过程：Romberg算法与埃特金方法、 高精度求积公式：Gauss求积公式二、要点、 若要求积分，当的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值时，可以考虑用数值的方法求得它的一个近似值。如果已知函数在个节点上的值，那么可以用这些节点构造一个插值多项式，用近似表示，并用近似表示，这时上式就称为插值型求积公式。更一般地，如果一种求积公式可以写为：就称为机械求积公式，显然，插值求积公式就是一种机械求积公式。、 在上述的插

2、值型求积公式中，特别地，当给定的个节点是等距的时候，构造出来的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写为：其中称为Cotes系数。特别地当时Newton-Cotes求积公式称为梯型求积公式，写为：当时Newton-Cotes求积公式称为抛物求积公式（或辛甫森求积公式），写为：当时Newton-Cotes求积公式称为Cotes求积公式，写为：其中是区间的四等分点。、 为了估计上面求积公式的精度，引入代数精度的概念。如果一种求积公式对于是次代数多项式时是精确成立的，但对于的代数多项式不能再精确成立那么，就称上面的求积公式具有次代数精度。由概念可以直接得到这样的结论（）插值型

3、求积公式至少具有次代数精度。容易证明第二个结论：（）当为偶数的时候插值型求积公式至少具有次代数精度。由代数精度的概念出发，再加上积分中值定理可以得到一些低阶的求积公式的余项估计。、 梯型求积公式的余项估计为：辛甫森求积公式的余项估计为：Cotes求积公式的余项估计为：、 当用Newton-Cotes求积公式的时，当很大时一样存在数值不稳定性。为了使用低阶求积公式，并且能达到较高的计算精度，可以将区间做若干等分，在每个子区间上使用低阶求积公式，这样的方法称为复化求积方法。若在子区间中用梯型求积公式就有：称为复化梯型求积公式；若在子区间上用辛甫森求积公式，就有：称为复化辛甫生求积公式；同理可得其它

4、的复化求积公式。、 复化求积公式的余项估计是先估计每个子区间的误差，然后再取和。其过程是简单的。（请大家勿必会证明推导复化求积公式的余项表达式，并会熟练使用）几个简单复化求积公式的余项估计：、 由以上的误差估计式，在较平坦、光滑（即光顺）的假设下，可以容易导出复化求积过程的一个收敛加速算法：Romberg算法，可以表示为、 Romberg算法可以实现的前提是“较平坦、光滑”，如果这个条件不成立，那么Romberg算法的收敛是值得商榷的。为了解决这个问题，利用一致逼近的思想可以找到一个高精度的数值求积算法：Gauss求积方法，它可以达到最高的代数精度为。一般表达式可以写为：其中是Gauss点，是

5、求积系数。、 利用一些插值方法可以求得在给定的那些节点上的微分值，这种方法称为数值微分。三、例题、确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。解：这是的NewtonCotes求积公式，至少具有三次代数精度。由此可以确定它的系数，取可得以下方程组：如果取，它的积分真值为，如果用积分公式来计算则得到它的近似值为，所以，求积公式只具有3次代数精度。、验证梯型求积公式只具有一次代数精度证明：梯型求积公式为，取时，有取时取时，积分真值为梯型求积公式的值为故，即梯型求积公式只具有1次代数精度。、分别应用梯型求积公式、Simpson求积公式、Cotes求积公式计算积分，

6、并估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位）解：运用梯形求积公式其误差应用Simpson求积公式，其误差为应用Cotes求积公式，有其误差为：、推导下列三种矩形求积公式解：将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得、已知，（）推导以这三个点作为求积节点在上的插值型求积公式，（）指明求积公式所具有的代数精度（）用所求公式的计算解：由构造Lagrange插值多项式并用近似表示，可得插值型求积公式：，其中代入计算可得所以要求的求积公式为：（）插值型求积公式至少具有n次代数精度，而且n为偶数的时候至少具有n+1次代

7、数精度。上面所求出来的求积公式就是一个为偶数的插值型求积公式，从而它至少具有次代数精度。如果取则其真值为，而求积公式的结果为，两者不相等。故求积公式只具有3次代数精度。（）、用复化梯形公式求积分，要将区间分成多少等份，才能保证误差不超过解：由复化梯形求积公式的余项知道要想使得误差不超过，只要就可以了，这只要所分的等分满足就可以了，其中、用Romberg方法计算积分，要求误差不超过解：令根据Romberg算法，可以计算出以下值：00.0.0.0.0.250.0.50.0.0.0.750.0.1故所求得积分值为：具有位有效数字位。、（信息与计算科学专业学生选读）设在上可积，证明当时，的复化梯形求积公式和复化辛甫森求积公式收敛于。证明：由于在上可积，故由定积分的定义可知对的任一分划所作黎曼和的极限存在。该积分对于等距分划和特殊当然也成立。复化梯形公式为则复化Simpson公式为则、 分别用Romberg求积公式与两点高斯求积公式计算积分解题提示：Romberg算法过程与前面的第题一样；Gauss求积方法参考教材P94-4.4.2节。、 以下是填空题：（）若用复化梯形公式计算积分，要将区间分为等分，才