大一高等数学期末考试试卷及答案详解

1、 大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知则的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)3. （3分）定积分的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1（3分） 平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2. （3分） .3. （3分） = .4. （3分） 的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求2. （6

2、分）设求3. （6分）求不定积分4. （6分）求其中5. （6分）设函数由方程所确定,求6. （6分）设求7. （6分）求极限四、解答题（共28分）1. （7分）设且求2. （7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数在上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设在区间上连续,证明（二）一、 填空题（每小题3分，共18分）1设函数，则是的第 类间断点.2函数，则.3 .4曲线在点处的切线方程为 .5函数在上的最大值 ，最小值 .6.二、 单项选择题（每小题4分，共20分）1数列有界是它收敛的（ ） .必要但非充分条件；

3、充分但非必要条件 ； 充分必要条件； 无关条件.2下列各式正确的是（ ） .； ； ； .3 设在上，且，则曲线在上.沿轴正向上升且为凹的； 沿轴正向下降且为凹的； 沿轴正向上升且为凸的； 沿轴正向下降且为凸的.4设，则在处的导数（ ）. 等于； 等于； 等于； 不存在.5已知，以下结论正确的是（ ）.函数在处有定义且； 函数在处的某去心邻域内有定义； 函数在处的左侧某邻域内有定义；函数在处的右侧某邻域内有定义.三、 计算（每小题6分，共36分）1求极限：.2. 已知，求.3. 求函数的导数.4. .5. .6.方程确定函数，求. 四、 （10分）已知为的一个原函数，求.五、 （6分）求曲线的

4、拐点及凹凸区间.六、 （10分）设，求.（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） =_.（2）曲线上与直线平行的切线方程为_.（3）已知，且, 则_ .（4）曲线的斜渐近线方程为 _（5）微分方程的通解为_二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) (B) (C) (D) （2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)都是极值点. (B) 都是拐点.(C) 是极值点.，是拐点. (D) 是拐点，是极值点.图1-1 （3）函数满足的一个微分方程是（ D ）.（A） （B）（C） （D）（4）设在处可

5、导，则为（ A ）.(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . （5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (B) (C) (D) 三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1求极限. 解 = 1分 = 2分 = 1分 = 2分2.方程确定为的函数，求与.解 （3分） （6分） 3. 4. 计算不定积分 .4.计算定积分.解 （3分） （6分）（或令）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1（本题6分）解微分方程.2（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力 解：建立坐标系如图xy3. （本

6、题8分）设在上有连续的导数，且，试求.4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.(1) (3) 求D的面积A;(2) (4) 求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是 -1分由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为 -1分 平面图形D的面积 -2分（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为， 1分因此所求旋转体的体积为 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数，.解法一：解法二：设则 1分因为 1分当时，

7、单调增加， 2分当时，单调增加， 2分所以对于任意的实数，即。 1分解法三：由微分中值定理得，其中位于0到x之间。 2分当时，。 2分当时，。 2分所以对于任意的实数，。 1分（四）一填空题（每小题4分，5题共20分）：1 .2.3设函数由方程确定，则.4. 设可导，且，则.5微分方程的通解为.二选择题（每小题4分，4题共16分）：1设常数，则函数 在内零点的个数为（ B ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2 微分方程的特解形式为 （ C ）（A）； （B）；（C）； （D）3下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A) 若,则必有;(B) (B) 若在上

8、可积,则;(C) (C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;(D) (D) 若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4. 设, 则是的（ C ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三计算题（每小题6分，5题共30分）：1计算定积分. 解： -2 -2 -22计算不定积分.解： -3 -33求摆线在处的切线的方程.解：切点为 -2 -2 切线方程为 即. -24. 设 ，则.5设，求.解： -2 -2 = -2 故 = 四应用题（每小题9分，3题共27分）1求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.解：设切点为，则过原点的切线方程为，由

9、于点在切线上，带入切线方程，解得切点为.-3过原点和点的切线方程为-3 面积=-3 或 2设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积. 解： 法一： -6 -3法二：V= - 5 - 43. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.解: - 3 -3-2故-1五证明题（7分）设函数在上连续，在内可导且试证明至少存在一点, 使得证明：设，在上连续在可导，因,有,- 2又由，知在上用零点定理，根据，- 2可知在内至少存在一点，使得,由ROLLE中值定理得 至少存在一点使得即，证毕. -3标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 2 3 0; 4 0.三、 1 解 原式 6分2 解 2分 4分3 解 原式 3分 2分 1分4 解 令则 2分 1分 1分 1分 1分5 两边求导得 2分 1分 1分 2分6