线性空间2005

1、2005年研究生入学考试题线性空间20050025： 设是矩阵，其中 （a）求行列式的值，这里表示矩阵A的行列式； (b) 设，求W的维数及W的一组基。20050031： 设A是元素全为1的n阶方阵，是阶单位矩阵。（1）求行列式的值,其中是实常数； (2) 已知, 试确定所满足的条件，并求下列线性子空间的维数:20050064： 设与分别是数域上8元齐次线性方程组与的解空间，如果，那么 。2005-0072 设V是数域P上的n维线性空间,是V上的非退化的反对称双线性函数,I是V的子空间,记证明:（I）dim=dimV-dimI,这里dimV表示V的维数.（II）dimI与dim的奇偶性相同.2

2、005-0088： 设M,f(x),g(x)Px,且(f(x),g(x)=1.令A=f(M),B=g(M),W,分别为线性方程组ABX=0,AX=0,BX=0的解空间,证明W=.2005011-1(7)： 设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间,其中,其中,则V的一组基为_2005-011-5： 设是数域P上的n维线性空间V的一组基,W是V的非平凡子空间, 是W的一组基,证明:在中可找到n-r个向量,使,为V的一组基.2005-0123： 设V是n维线性空间,A是V的线性变换.设U是V的子空间，求证:dim(A(U)+dim()=dim(U).这里,A(V)=,.2005-0125 设

3、,是n维线性空间V的子空间,且V=,设是V中向量生成的子空间,且满足=0,=0.求的维数并证明.20050131（3）： 平面上全体向量组成的集合，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：，是否构成实数域上的线性空间？20050138： 试证：实线性空间的线性变换必有1维或2维的不变子空间。20050145（2）： 设为阶正定矩阵，且是非零列向量。令，求的最大特征值以及的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基。20050151（5）： 设是数域上的线性空间的线性变换，是的子空间，如果对于中的任意向量有则称是的-子空间。 （A）非平凡； （B）不变； （C）核； （D）零。20050152（4）：

4、设，已知的3个特征向量：对应于的特征向量为，对应于的特征向量为。试计算，其中是自然数。20050152（5）： 设是数域上的一个三维空间，是它的一组基，是的一个线性函数，已知，。求：。20050156：设，。由生成的子空间记为，由生成的子空间记为：（1）求的维数；（2）求的一组基。20050161： （1）证明：在中，多项式是一组基，其中是互不相同的数。（2）在（1）中取的全体次单位根，求由基到基 的过度矩阵。20050201（4）：判断题：设是线性空间V找茬儿子空间，而且任意两个的交为0 则能直和。20050211（5）：判断题：设，均为线性空间V的子空间，满足 则。20050216： 设，

5、是n维欧氏空间的线性子空间，且dimdim,证明：在中必有一 非零向量正交于中的一切向量（符号dimV表示子空间的维数）。20050217： 设V是数域F上x的次数小于n的全体多项式构成的线性空间，定义V上的 线性变换A，使，其中表示f(x)的导数，求A的 核与值域，并证明线性空间V是与AV的直和。20050236： 设V为数域P上n维线形空间，A为V上线形变换。已知但 试问是否存在B的一组基使A在这组基下的矩阵为对角矩阵？20050238： 设V为数域P上n维线形空间（n1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列 使得中任何n个向量都是V的一组基。20050251（3）：数域F上全体n阶反对称矩阵的集合S是否构成上F上的线性空间？若能，S的维 数是多少？20050273： 表示数域F上的全体n阶方面军阵构成的线性空间，试证： （I）N级对称矩阵的集合和n级反对称矩阵的集合都是的线性子空间。