高中数学 第一讲 坐标系测评 新人教A版选修4-4

1、第一讲坐标系测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A.y=3sinxB.y=3sin 3xC.y=3sin 6xD.y=sinx解析由伸缩变换,得将其代入y=sin 3x,有=sinx,即y=3sinx.所以变换后的曲线方程为y=3sinx.答案A2.在极坐标系中,已知M,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是()A.B.C.D.答案A3.若点A的球坐标为,则它的直角坐标为()A.B.C.D.解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=rsin cos =5sincos=-,y=rsi

2、n sin =5sinsin,z=rcos =5cos=-,所以直角坐标为.答案A4.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为()A.=-4cos B.cos -1=0C.sin =-D.=-sin 解析设M(,)为直线上除以外的任意一点,则有cos =2cos,则cos =1,经检验符合方程.所以直线的极坐标方程为cos -1=0.答案B5.在极坐标系中,圆=-2sin (02)的圆心的极坐标是()A.B.C.(1,0)D.(1,)解析由=-2sin ,得2=-2sin ,化为直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.答案B6.可以将椭圆=1变为圆x2

3、+y2=4的伸缩变换是()A.B.C.D.解析将x2+y2=4改写为x2+y2=4,设满足题意的伸缩变换为将其代入x2+y2=4,得2x2+2y2=4,即=1,与椭圆=1,比较系数得解得故满足题意的伸缩变换为即答案D7.在极坐标系中,圆=22sin 的圆心到极轴的距离为()A.11B.11C.11D.22解析由圆的极坐标方程=22sin ,得2=22sin ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.答案A8.在极坐标系中,圆=2cos 与直线2cos=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定解

4、析圆=2cos 与直线2cos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=1=r,所以直线与圆相切.答案B9.若曲线的极坐标方程为=8sin ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16解析由直角坐标和极坐标的互化公式x=cos ,y=sin ,即2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.答案B10.导学号73574029在球坐标系中,集合M=(r,)2r6,0,00)的公共弦所在直线的方程为()A.2(sin +co

5、s )=rB.2(sin +cos )=-rC.(sin +cos )=rD.(sin +cos )=-r解析圆=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,圆=-2rsin=-2r=-r(sin +cos ),两边同乘,得2=-r(sin +cos ),所以x2+y2+rx+ry=0,由-,并化简得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为(cos +sin )=-r.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线=对称,则|PQ|=.解析直线=的直角坐标方程为y=x.设点P到直线的距离为d

6、,则|PQ|=2d=2.答案214.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=6sin ,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析将代入,得6sin cos =3,sin 2=1.02,=.代入得=3.C1与C2交点的极坐标为.答案15.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为,球坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,).由由得即所以点M的直角坐标为,球坐标为.答案16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线=0,=,cos +sin =1围成的图形的面积是.解析因为三条直线=0,=,cos +sin =1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=x,

7、x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B.所以SAOB=1=.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为曲线C在此变换下变为椭圆+y2=1,求曲线C的方程.解因为所以将其代入方程+y2=1,得=1,即x2+=1.故曲线C的方程为x2+=1.18.(本小题满分12分)已知定点P.(1)将极点移至O处,极轴方向不变,求点P的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求点P的新坐标.解(1)设点P的新坐标为(,),如图所示,由题意可知,|OO|=2,|OP|=4,POx=,OO

8、x=,所以POO=.在POO中,2=42+(2)2-242cos=16+12-24=4,则=2.又,所以sinOPO=2,即OPO=.所以OPP=-,则PPx=,POx=.故点P的新坐标为.(2)如图所示,设点P的新坐标为(,),则=4,=.故点P的新坐标为.19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:=2cos -4sin ,C2:sin -2cos +1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点A,B之间的距离.解(1)由=2cos -4sin ,得2=2cos -4sin .x2+y2=2x-4y.C1的直角坐标方程

9、为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C2:sin -2cos +1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.圆心(1,-2)到直线的距离d=,|AB|=2.20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解设点Q,P的坐标分别是(,),(1,1),则=1.在POA中,|OP|=1=sin,|PA|=.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得=2acos.故点Q的轨迹的极坐标方程为=2acos.21.导学号73574032(本小题满分

10、12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹的极坐标方程.解(1)设M(,)是圆C上除极点外的任意一点,连接OM,CM.在OCM中,COM=,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM|OC|cosCOM,即32=2+32-23cos,=6cos.因为极点适合上式,所以圆C的极坐标方程为=6cos.(2)设点Q为(1,1),点P为(,),由=2,得=2(),即,所以1=,1=.因为点Q在圆C上,所以有1=6cos.将1=,1=,代入圆1=6cos的方程,得=6cos,即=9cos.故动点P的轨迹的极坐标方程为=9cos.22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:=2与曲线C2:sin交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解(1)(方法一)=2,x2+y2=4,半径r=2.又sin,y=x+2.原点(0,0)到直线x-y+2=