八年级数学二次根式培优专题

1、 二次根式培优习题训练 【知识要点】 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义 2. 3. 公式与的区别与联系.（1） 表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的 4、性质：（1）非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 （2）.注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： （3） 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（3）可移

2、到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外5、（1）最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与

3、，分别互为有理化因式。（3）分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后结果必须化成最简二次根式或有理式7、二次根式的运算： （1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。反过来就是积的算术平方根的性质。 （a0，b0） （2）二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。反过来就是商的算术平方根的性质。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根

4、式（3） 二次根式的加减法法则：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数8、混合运算：（1）确定运算顺序；（2）灵活运用运算定律； （3）正确使用乘法公式；（4）大多数分母有理化要及时；（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；9、比较大小：（1）根式变形法：当时，如果，则；如果，则。（2）平方法：当时，如果，则；如果，则。（3）分母有理化法：通过分母有理化，利用分

5、子的大小来比较。（4）分子有理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。（5）倒数法（6） 媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。（7）作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如 下性质：；（8）求商比较 法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【典例解析】1、 概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）2把二次根式（y0）化为最简二次根式结果是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对3化简=_（x0） 4a化简二次根式号后的结果是_5以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和6在、

6、3、-2中，与是同类二次根式的有 7.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值8.+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_-的有理化因式是_2.把下列各式的分母有理化（1）； （2）； （3）； （4）二、二次根式有意义的条件： 1（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3) (4)三、二次根式的非负数性1若+=0，求a2004+b2004的值2

7、. 若，求的值。a0四、 的应用1 先化简再求值：当时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2. 若-3x2时，试化简x-2+。3化简a的结果是（ ） A B C- D-五、求值问题:1.当x=+,y=,求x2-xy+y2的值2已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27六、大小的比较1. 比较与的大小。（用两种方法解答）2.比较与的大小。3.比较与的大小。七、其他1等式成立的条件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-12.已知，且x为偶数，求（1+x）的值 A2 B3 C4 D13.如果,