【解析版】河南省郑州大学附中届高三数学第三次月考试题 理 新人教A版

1、河南省郑州大学附中2013届高三第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）定义集合运算：AB=zz=xy（x+y），xA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为（）A0B6C12D18考点：进行简单的合情推理分析：根据定义的集合运算：AB=zz=xy（x+y），xA，yB，将集合A=0，1，B=2，3的元素代入求出集合AB后，易得答案解答：解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处

2、理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果2（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）ABCy=tanxD考点：函数奇偶性的判断专题：计算题；函数的性质及应用分析：选项中的几个函数分别是反比例函数，对数型函数，以及三角函数，根据相关函数的性质对每个函数的进行验证即可找出正确选项解答：解：对于选项A，是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，故A不对；对于选项B，判断其是奇函数，但在其定义域内有增有减，故B不正确；对于选项C，函数y=tanx的图象为一段一段的曲线，在整个定义域上不是单调函数，故C不正确对于选项D，的定

3、义域为1x1，且为奇函数，令 ，则 ，所以 在定义域上为减函数故D正确；由上分析知，选项D是正确的故选D点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，考查基本函数单调性的判断与其奇偶性的判断，函数奇偶性与单调性是函数的两个非常重要的性质，奇函数的图象关于原点成中心对称图象，偶函数的图象关于y轴成中心对称图形，具有奇偶性的函数在对称的区间上奇函数的单调性相同，而偶函数在对称区间上相反，熟练掌握这些知识，可以迅速准确地做出正确判断3（5分）定义行列式运算=a1a4a2a3将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）ABCD考点：二阶矩阵；正弦函数的对称性；函数y=Asin（x+）的

4、图象变换专题：计算题分析：利用行列式定义将函数f（x）化成，向左平移后得到y=2sin2x从而写出函数y=2sin2x图象的对称中心即可解答：解析：，向左平移后得到y=2sin2x所以函数y=2sin2x图象的对称中心为，令k=1时，得到故选B点评：本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识；解答的关键是利用行列式定义将函数f（x）化成一个角的三角函数的形式，以便于利用三角函数的性质4（5分）（2012开封一模）由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln3考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题分析：由题意利用定积分的几何意义知，欲求由

5、曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）+2=3ln31+2=4ln3故选D点评：本题主要考查定积分求面积用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算5（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图可知几何体是组合体，下面是圆柱，上面是侧棱垂直于底面的三棱锥，分别计算相应的体积，即

6、可得到结论解答：解：根据三视图可知几何体是组合体，下面是圆柱，底面半径为1，高为1，故体积为；上面是侧棱垂直于底面的三棱锥，高为=，底面是等腰直角三角形，其面积为1，故体积为=该几何体的体积为故选D点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键6（5分）若函数f（x）=sinx（0）在区间上单调递减，则取值范围是（）ABCD考点：正弦函数的单调性专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：先聊天正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数f（x）=sinx（0）在区间上单调递减，建立不等式，即可求取值范围解答：解：令x（kZ），则x函数f（x）

7、=sinx（0）在区间上单调递减，且故选D点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间2，内，则输入的实数x的取值范围是（）A（，1B，C（，0），D（，1，考点：程序框图专题：计算题分析：由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可解答：解：由程序框图可知：f（x）=输出的函数值在区间2，内，必有当x0时，；当x0时，解得x1或故答案为故选D点评：正确理解循环结构的功能和判断框的条件是解题的关键8（5分）（2012芜湖二模）已知函数f（x）=4x2，g（x）是定义在（，0

8、）（0，+）上的奇函数，当x0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）g（x）的大致图象为（）ABCD考点：函数的图象；函数奇偶性的性质专题：压轴题；数形结合分析：由已知中函数f（x）=4x2，当x0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案解答：解：函数f（x）=4x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，故函数y=f（x）g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又函数f（x）=4x2，当x0时，g（x

9、）=log2x，故当0x1时，y=f（x）g（x）0；当1x2时，y=f（x）g（x）0；当x2时，y=f（x）g（x）0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法9（5分）（2010延庆县一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x（，0）时不等式f（x）+xf（x）0成立，若a=30.3f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（）f（）则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb考点：函数奇偶性的性质；简单复合函数的导数；函数的单调性与导数的关系专题：综合

10、题；压轴题分析：由已知式子（x）+xf（x），可以联想到：（uv）=uv+uv，从而可设h（x）=xf（x），有：h（x）=f（x）+xf（x）0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决解答：解：构造函数h（x）=xf（x），由函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数可得h（x）=xf（x）是R上的偶函数，又当x（，0）时h（x）=f（x）+xf（x）0，所以函数h（x）在x（，0）时的单调性为单调递减函数；所以h（x）在x（0，+）时的单调性为单调递增函数又因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，从而h（0）=0因为=2，所以f（）=f（2）=f（2），由0log31

11、30.330.52所以h（log3）h（30.3）h（2）=f（），即：bac故选B点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）=uv+uv；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在10（5分）（2009泰安一模）已知曲线C：y=2x2，点A（0，2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视

12、线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B（，4）C（10，+）D（，10）考点：抛物线的简单性质专题：计算题分析：先看视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向，设出切线的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式等于0求得k的值，进而求得切线的方程，把x=3代入即可求得y的值，B点只要在此切线下面都满足题意，进而求得a的范围解答：解：视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向设切线y=kx2（k0）与抛物线方程联立得2x2kx+2=0=k216=0k=4（负的舍去）切线为y=4x2取x=3得y=10B点只要在此切线下面都满足题意a10 故选D点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛

13、物线的位置关系考查了学生创造性思维能力和基本的分析推理能力11（5分）（2010安徽）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A0，1B1，7C7，12D0，1和7，12考点：函数单调性的判断与证明专题：压轴题分析：由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在0，12变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，

14、从而得单调递增区间解答：解：设动点A与x轴正方向夹角为，则t=0时，每秒钟旋转，在t0，1上，在7，12上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的故选D点评：本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题12（5分）已知函数，把函数g（x）=f（x）x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和Sn，则S10=（）A45B55C2101D291考点：数列的求和；函数的零点专题：等差数列与等比数列分析：函数y=f（x）与y=x1在（0，1，（1，2，（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即函数

15、g（x）=f（x）x+1的零点按从小到大的顺序为0，1，2，3，4，n+1方程g（x）=f（x）x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，可得数列通项公式解答：解：当x0时，g（x）=f（x）x+1=x，故a1=0当0x1时，有1x10，则f（x）=f（x1）+1=2（x1）1+1=2x2，g（x）=f（x）x+1=x1，故a2=1当1x2时，有0x11，则f（x）=f（x1）+1=2（x1）2+1=2x3，g（x）=f（x）x+1=x2，故a3=2当2x3时，有1x12，则f（x）=f（x1）+1=2（x1）3+1=2x4，g（x）=f（x）x+1=x3，故a4=3以此类推

16、，当nxn+1（其中nN）时，则f（x）=n+1，故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列故S10=45故选A点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f（x）=f（x+4），当x（2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）f（2013）=考点：奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；对任意xR都有f（x）=f（x+4），可得函数的周期为

17、4，由此可得结论解答：解：由题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0对任意xR都有f（x）=f（x+4），函数的周期为4，f（2012）=f（4503）=f（0）=0当x（2，0）时，f（x）=2x，f（1）=，f（1）=f（2013）=f（4503+1）=f（1）=f（2012）f（2013）=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性与周期性，考查学生的计算能力，属于基础题14（5分）设偶函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，KL=1，则f（）的值为考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换

18、及化简求值专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用函数的图象，通过KL=1以及KML=90求出求出A，再求出函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，得到函数的解析式，即可求解f（ ）的值解答：解：因为f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以=，函数是偶函数，0，所以=，函数的解析式为：f（x）=sin（x+），所以f（）=sin（+）=cos=故答案为：点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力15（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0

19、）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f（x），f（x）的导函数为f（x），则有f（x0）=0若函数f（x）=x33x2，则=8046考点：导数的运算专题：新定义分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，2）对称，即f（x）+f（2x）=4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011对4和一个f（1）=2，可得答案解答：解：由题意f（x）=x33x2，则f（x）=3x26x，f（x）=6x6，由f（x0）=0得x0=1，而f（1）=2，故函数f（x）=x33x2关于点（1，2）对称，即f（x）+f（2x）=4，故=+f（）+f（）+f（）=42011+（2）=80

20、46故答案为：8046点评：本题为新定义问题，读懂题目所给的意思是解决问题的关键，属基础题16（5分）（2012淮北二模）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，bR，ab0若f（x）f（）|对一切xR恒成立，则f（）=0；|f（）|f（）|；f（x）既不是奇函数也不是偶函数；f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）；经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）考点：正弦函数的单调性；三角函数的恒等变换及化简求值专题：综合题；压轴题；三角函数的求值分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（） 是三角函数的最大值，

21、得到x= 是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于k+，求出辅助角，再通过整体处理的思想研究函数的性质解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）由f（x）f（）可得f（）为函数f（x）的最大值2f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）对于f（）=sin（2+）=0；故对对于，|f（）|=|sin（+）|=|f（）|=|sin（）|=|sin|=|f（）|f（）|故错对于，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故正确对于，由于f（x）的解析式中有，故单调性分情况讨论，故不对对于要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|

22、，b2a2+b2这不可能，矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故正确故答案为：点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法三解答题（本大题共7小题，共70分，请给出各题详细的解答过程）17（12分）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（）求角A的大小； （）若角，BC边上的中线AM的长为，求ABC的内切圆半径r与外接圆半径R的比值考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题；解三角形分析：（）通过已知条件利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求出角A余弦函数值，然后求出A的大小； （）利用

23、角，BC边上的中线AM的长为，通过余弦定理求出AC的长，通过三角形面积求出ABC的内切圆半径r，通过正弦定理求出三角形外接圆半径R，然后求解比值解答：解：（），即（2分）则，因为0A则（4分）（）由（1）知，所以AC=BC，设AC=x，在AMC中由余弦定理得AC2+MC22ACMCcosC=AM2，即，解得x=2，（8分）故，（12分）点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力18（12分）已知在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，O为AB中点，ADBC，ABBC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3（）求证：CD平面POC；（

24、）求二面角OPDC的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题：综合题；空间角分析：（）利用侧面PAB底面ABCD，可证PO底面ABCD，从而可证POCD，利用勾股定理，可证OCCD，从而利用线面垂直的判定，可得CD平面POC；（）解法一：建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角OPDC的余弦值；解法二：过点C作CMOD于点M，过点M作MNPD于点N，连接CN，证明MNC是二面角OPDC的平面角，从而可求二面角OPDC的余弦值解答：（）证明：PA=PB=AB，O为AB中点，POAB侧面PAB底面ABCD，PO侧面PAB，侧面PAB底面A

25、BCD=AB，PO底面ABCDCD底面ABCD，POCD在RtOBC中，OC2=OB2+BC2=5在RtOAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（ADBC）2=5OC2+CD2=OD2，ODC是以OCD为直角的直角三角形，OCCDOC，OP是平面POC内的两条相交直线CD平面POC（6分）（）解法一：如图建立空间直角坐标系Oxyz，则，D（1，3，0），C（1，2，0）假设平面OPD的一个法向量为，平面PCD的法向量为，则由可得，取y1=1，得x1=3，z1=0，即，由可得，取，得，z2=5，即，故二面角OPDC的余弦值为（12分）解法二：过点C作CMOD于

26、点M，过点M作MNPD于点N，连接CN则由于PO平面OCD，PO平面POD，所以平面POD平面OCD，CM平面OCD，平面POD平面OCD=OD，CM平面POD，CMPD，MNPD，MNCM=M，PD平面MCN，PDNC，即MNC是二面角OPDC的平面角在RtOCD中，在RtPCD中，所以，所以故二面角OPDC的余弦值为（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键19（12分）（2012武汉模拟）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示（）频率分布表

27、中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30，35）岁的人数；分组（单位：岁）频数频率20，2550.0525，300.2030，353535，40300.3040，45100.10合计1001.00（）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差专题：计算题分析：（I）根据频率、频数和样本容量之间的关系，写

28、出频率分布表中两个位置的数字，在频率分步直方图中看出在30，35）的频率，乘以总人数得到频数，根据直方图中频率的结果，得到小正方形的高（II）用分层抽样方法抽20人，则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，故X的可能取值是0，1，2，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列和期望解答：解：（I）0.2100=20，处是20，处是0.35，由频率分步直方图中，30，35）的人数是0.35500=175在频率分步直方图知，在25，30）这段数据上对应的频率是0.2，组距是5，小正方形的高是，在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形（II）用分层抽样方法抽20人，则年龄低于

29、30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，故X的可能取值是0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=X的分布列是X的期望值是EX=点评：本题考查频率分步直方图，考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查等可能事件的概率，本题是一个综合题目20（12分）（2012商丘三模）已知椭圆M：（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4（）求椭圆M的方程；（）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题分析：（）根据

30、椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2c2，可求椭圆M的方程；（）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得 ，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值解答：解：（）由题意，可得 ，即，（1分）又椭圆的离心率为，即，（2分）所以a=3，所以b2=a2c2=1，（3分）所以椭圆M的方程为（4分）（）由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m29=0（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），有，（6分）因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 （7分）由 ，得 （x13）（x23）+y1y2=0（8分

31、）将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得 ，（10分）将 代入上式得解得 ，或m=3（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键21（12分）已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye1时，求证：考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（），由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域

32、内的极值点的个数（）由函数f（x）在x=1处取得极值，知a=1，故，由此能求出实数b的取值范围（）由，令，则只要证明g（x）在（e1，+）上单调递增，由此能够证明解答：解：（），当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，函数f（x）在（0，+）单调递减，f（x）在（0，+）上没有极值点；当a0时，f（x）0得，f（x）0得，f（x）在上递减，在上递增，即f（x）在处有极小值当a0时f（x）在（0，+）上没有极值点，当a0时，f（x）在（0，+）上有一个极值点（4分）（注：分类讨论少一个扣一分）（）函数f（x）在x=1处取得极值，a=1，（5分），（6分）令，可得g（x）在（0，e2上递减，在e2，+）上递增，（8分），即（9分）（）证明：，（10分）令，则只要证明g（x）在（e1，+）上单调递增，又，显然函数在（e1，+）上单调递增（12分），即g（x）0，g（x）在（e1，+）上单调递增，即，当xye1时，有（14分）点评：本题考查函数的求极值点的个数的求法，考查满足条件的实数的求法，考查不等式的证明解题时要合理运用导数性质，注意等价转化思想和分类讨论思想的灵活运用22（10分）（2011许昌三模）选修