高中数学 第一章 立体几何初步 1.5 平行关系 1.5.1 平行关系的判定学案 北师大版必修2

1、5.1平行关系的判定1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行.(重点)2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.(重点、易错点)3.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明空间线面关系.(难点)基础初探教材整理1直线与平面平行的判定定理阅读教材P29至P30“例1”以上部分，完成下列问题.定理表示直线与平面平行的判定定理文字叙述若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示l图形表示能保证直线a与平面平行的条件是()A.b，abB.b，c，ab，acC.a，ab

2、D.a，b，ab【解析】A项和B项中a有可能在内，C项中，b可能不在内，不能保证a，D项中，a.【答案】D教材整理2平面与平面平行的判定定理阅读教材P30“例2”以下至P31“例3”以上部分，完成下列问题.定理表示平面与平面平行的判定定理文字叙述如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号表示在以下说法中，正确的个数是()平面内有两条直线和平面平行，则与平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等，则与平行.A.0 B.1C.2 D.3【解析】对，当内的两直线平行时，与也可能相交，故错误；对，当内有无数条直线和平行时，与也可能相

3、交，故错误；对，若A，B，C三点在两侧时，与相交，故错误.【答案】A小组合作型线面平行的判定如图151，四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E为PB的中点.求证：CE平面PAD.图151【精彩点拨】要证明CE平面PAD，只要证明CE与平面PAD内的某一条直线平行即可.由于E为PB的中点，故可考虑取PA的中点，利用三角形的中位线证明.【自主解答】取PA的中点H，连接EH，DH.E为PB的中点，EHAB，EHAB，又ABCD，AB2CD，EHCD，EHCD，四边形DCEH是平行四边形，CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，CE平面PAD.1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关

4、键是寻找平面内与已知直线平行的直线.2.证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.再练一题1.如图152，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA平面MDB.图152【证明】连接AC交BD于点O，连接MO，M为SC中点，O为AC中点，MOSA.又SA平面MDB，MO平面MDB，SA平面MDB.面面平行的判定 如图153，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.图153求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN平面EFDB.【精彩点拨】(1)只需

5、证明BD与EF平行即可.(2)根据面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行.【自主解答】(1)连接B1D1，E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，EFB1D1.而BDB1D1，BDEF，E，F，B，D四点共面.(2)易知MNB1D1，B1D1BD，MNBD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB，MN平面EFDB.连接MF.M，F分别是A1B1，C1D1的中点，MFA1D1，MFA1D1，MFAD，MFAD，四边形ADFM是平行四边形，AMDF.又AM平面EFDB，DF平面EFDB，AM平面EFDB.又AMMNM，平面MAN平面EFDB.1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相

6、交直线平行于另一个平面即可.2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.再练一题2.如图154所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC的中点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.图154【证明】连接A1C交AC1于点E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点.连接ED，ED是A1BC的中位线，EDA1B.ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1，ED平面A1BD1.C1D1BD，四边形BDC1D1是平行四边形，C1DBD1.C1D平面A1BD1，BD1平面

7、A1BD1，C1D平面A1BD1.又C1DEDD，平面A1BD1平面AC1D.探究共研型线面平行、面面平行判定定理的综合应用探究1如图155，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，试判断直线EG与平面BDD1B1是否平行？图155【提示】连接SB，E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.探究2在上述问题中，平面EFG平面BDD1B1吗？【提示】能.连接SD，F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，E

8、G平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.如图156，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.图156(1)求证：MN平面PAD；(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD. 【导学号：39292025】【精彩点拨】(1)由于N为PC的中点，故可取PD的中点H，证明四边形MNHA为平行四边形，进而利用判定定理证明MN平面PAD.(2)若平面MNQ平面PAD，又M为AB的中点，从而可确定Q的位置.【自主解答】(1)证明：如图，取PD的中点H，连接AH，NH.由N是PC的中点，知NHDC，NHDC.由M是AB的中点，知AMDC，

9、AMDC，NHAM，NHAM，四边形AMNH为平行四边形，MNAH.MN平面PAD，AH平面PAD，MN平面PAD.(2)若平面MNQ平面PAD，则应有MQPA，M是AB中点，Q是PB的中点，即当Q为PB的中点时，平面MNQ平面PAD.将证明面面平行问题转化为线面平行问题，而将证线面平行问题，转化为线线平行问题.在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，可使问题顺利得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口，这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视.再练一题3.已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PEED21，在棱PC上是否存在一点F，使B

10、F平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.图157【证明】如图，连接BD，交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线，交PD于点G，过点G作GFCE，交PC于点F，连接BF.BGOE，BG平面AEC，OE平面AEC，BG平面AEC.同理，GF平面AEC，又BGGFG，平面BGF平面AEC，BF平面AEC.BGOE，O是BD中点，E是GD的中点.又PEED21，G是PE中点.而GFCE，F为PC中点.综上，当点F是PC中点时，BF平面AEC.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在【解析】设直线外两点为A、B

11、，若直线ABl，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.【答案】D2.若M，N分别是ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面的位置关系是()【导学号：39292026】A.MNB.MN与相交或MNC.MN或MND.MN或MN与相交或MN【解析】当平面与平面ABC重合时，有MN；当平面与平面ABC不重合时，则平面ABCBC.M，N分别为AB，AC的中点，MNBC.又MN，BC，MN.综上有MN或MN.【答案】C3.若直线a直线bA，a平面，则b与的位置关系是_.【解析】a，a与平面没有公共点，若b，则A，又Aa，此种情况不可能，b或b与相交.【答案】b或b与相交4.已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号).AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.【解析】如图，四边形ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，故正确；又AD1