平面向量的数量积和坐标运算复习

1、平面向量的数量积及坐标表示复习（适合高一）教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用讲解概念：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q180C特别注意的是三角形中向量的夹角2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们

2、的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积的区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但

3、是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b

4、在a方向上投影|b|cosq的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea = ae =|a|cosq2ab ab = 0 重点！3当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或 重点！4cosq = 重点！5|ab| |a|b|6.数量积的坐标表示：向量的模（模长公式） 设，则有或平面内两点间的距离公式设，则两向量垂直的坐标表示的判断条件 设，则两向量的夹角的坐标表示公式 设非零向量，为与的夹角，则7.平面向量数量积的运算律 交换律： = 数乘结合律：() =() = () 分配律：( +

5、) = + 三、讲解范例：例1 判断正误（易错点）00；0；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则总结：实数中的好多结论在向量中是不成立的。如：若，则或；若，且，则；若，则；若，则练习：1.下列命题中真命题是（ ）(A) (B) (C) (D) 2.下面给出的关系式中正确的个数是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33.下列说法中正确的序号是（ ）一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；两个非零向量平行，则他们所在直线平行；零向量不能作为基底中的向量；两个单位向量的数量积等于零。(A) (B) (C) (D)4.判断下列各

6、题是否正确（1）若，则对任意向量，有 （2）若，则对任意非零量，有（3）若，且，则 （4）若，则或 （5）对任意向量有 （6）若，且，则 例2（易错点）已知ABC中，求.总结：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例3 （数量积公式的应用）已知，当，与的夹角是60时，分别求.总结：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当时，有0或180两种可能.例4（数量积的坐标表示的应用、模长公式的应用、向量夹角公式）已知，求，与的夹角.练习：1.若，则 2.若，且，则实数 3.若，则与垂直的单位向量的坐标是 4.已知向量，且，则的坐标是_例5（投影的概念）若，求在方向上的投影例6（数量积的性质的应用）若， 求的夹角练习：1.若,且,则向量与向量的夹角为 ( ) A. B. C. D. 2.已知,夹角为,则 .例7（模与数量积的关系）已知向量求 （1）的值； （2）与的夹角练习：1.已知向量满足,且的夹角为,求.2.已知,求向量与向量的夹角.3.已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.4.已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )A. B. C. D. 5.已知的夹角为, ,则 等于( )A 5 B. 4 C. 3