计算机图形学课件 第四章 图形变换

1、第4章 图形变换,图形变换是计算机图形学基础内容之一。 几何变换 显示变换(投影变换，视窗变换) 图形变换的特点：线性变换， 属性不变，拓扑关系不变。,图形变换的作用：,把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。,4.1 基本几何变换,图形的几何变换一般是指对图形的几何信息经过变换后产生新的图形,研究物体坐标在直角坐标系统内的平移、旋转和变比的规律。下图表示了一个正方形经过不同变换以后形成的不同结果。,平移变换 (Translation),旋转变换,设P(x y)点绕坐标原点逆时针旋转角到达P (x y )点，如图所示，则： x =

2、R cos(+) = R cos cos - R sin sin = x cos - y sin y = R sin(+) = R cos sin + R sin cos = x sin + y cos 角的正负由旋转方向决定，逆时针取正，顺时针取负。 其变换矩阵：,比例变换(scaling),对称变换,设变换前的坐标为P( x y)，变换后的坐标为P (x y )； 对x轴对称：(x y ) =( x -y) 对y轴对称： (x y ) =( -x y) 对坐标原点对称：(x y ) =( -x -y),变换的数学基础,矢量,矢量和,变换的数学基础,矢量的点积,矢量的数乘,变换的数学基础,矢

3、量的长度,单位矢量 点积运算的几何解释 矢量的夹角,矢量的叉积,变换的数学基础,矩阵 阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆,矩阵的含义 矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。,A=,其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素,变换的数学基础,矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B = 数乘 kA = k*aij|i=1.m, j=1,. n,变换的数学基础,乘法 设A为32矩阵，B为23矩阵 C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj,k=1,

4、n,变换的数学基础,单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am n = Am n In,变换的数学基础,逆矩阵 若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AB)T = BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。,变换的数学基础,矩阵运算的基本性质 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C

5、 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A,变换的数学基础,矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B 矩阵的乘法不适合交换律,变换的数学基础,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,为什么需要齐次坐标？,多个变换作用于多个目标,变换合成,变换合成的问题,引入齐次坐标,变换的表示法统一,齐次坐标表示法： 用n+1维向量表示一个n维向量。 如n维向量(P1,P2, ,Pn)表示为（hP1,hP2,

6、hPn,h），其中h称为哑坐标。,齐次坐标,h,1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 如:普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。,齐次坐标,(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线,1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系

7、的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x h, y h, h)，令h等于0,齐次坐标的作用,齐次坐标的作用,3. 齐次坐标可以计算机无法容纳的数。 例如，当计算机的字长为16位时，它能表示的最大整数为216-1= 32767，若点坐标为80 000 40 000，则计算机无法表示。但用齐次坐标可表示为 20 000 10 000 1/4，经过处理后再将其正常化，即用第三个坐标去除前面两个坐标，从而得到原来通常的坐标。 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,二维图形几何变换 矩阵可用下式表示：,是对图形的缩放、旋转、对称、错切等变换

8、,c f 是对图形进行平移变换；,是对图形作投影变换,i 是对整个图形做伸缩变换,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,1平移的矩阵运算表示：,Tx 、Ty 分别表示X轴方向和Y轴方向的平移距离,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,2旋转的矩阵运算表示为：,逆时针时取正值， 顺时针时取负值,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,3. 比例变换的矩阵运算表示为：,对称变换其实只是a、b、d、e取 0、1等特殊值产生的一些特殊效果 示意图,齐次坐标与二维变换的矩阵表示,4. 错切变换的矩阵运算表示为：,A. 当d=0时，x=x+by，y=y， 此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值 （x，y）及变换系数b作线性变化。 B

9、.当b=0时，x=x，y=dx+y， 此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值 （x，y）及变换系数d作线性变化。示意图,二维变换的示意图,复合变换,Composite Transformation,由基本变换构成的连续变换序列称为复合变换 变换的矩阵形式使得复合变换的计算工作量大为减少,问题：如何实现复杂变换？,变换分解,变换合成,复合变换,A复合平移,对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来,Composite Transformation,复合变换,Composite Transformation,关于任意参照点 的旋转变换,关于任意参照点复合变换示意图,关于复合变换一些结论,各种复杂

10、的变换无非是一些基本变换的组合， 而数学方法来表示也就是矩阵的乘法，解决 复合变换问题，关键是将其分解为一定顺序 的基本变换，然后逐一进行这些基本变换， 从而复合变换问题得到解决；或者求出这些 基本变换矩阵连乘积，即得复合变换矩阵， 进而由矩阵作复合变换使得问题被解决,关于复合变换一些结论,变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘法不可交换）,Translate2D(1,0); Rotate2D(45); House();,Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();,二维几何变换的函数,1建立变换矩阵的函数为： creat_transformation_matr

11、ix(xf, yf, sx, sy, xr, yr, ，tx, ty, matrix)；,相当于实现:matrix （xf,yf）S(sx，sy)T(xf，yf)T(xr，yr） R() T(xr，yr)T(tx，ty),2组合变换的函数为： accumulate_transformation_matrix(matrix1,matrix2,matrix); 函数完成如下功能： matrixmatrix1matrix2,实现比例、对 称、旋转、错切 四种基本变换,把H=1平面上 的齐次点变换为 H=px+qy+rz+1 平面上的点,使图形产生 全比例变换,实现平移变换,4.2 三维图形几何变换,

12、4.2 三维图形几何变换,齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵， 其形式如下：,三维图形几何变换,其中,产生缩放、旋转、错切等变换；,产生平移变,产生投影变换,产生整体的缩放变换,三维图形的基本变换,1平移变换,若三维立体沿x,y,z三个方向上移动一个位置，而立体的大小与形状不变，则称为平移变换。,三维图形的基本变换,其中sx, sy, sz分别为x, y, z三个方向的比例因子； x y z 1 = x y z 1 T = sxx syy szz 1 若sx=sy=sz ，则各向缩放比例相同； 若sx sy sz ，则各向缩放比例不同，立体产生畸变； 若sx=sy=sz=1，则立体

13、不发生变化，称为恒等变换。,(1)其相对于原点缩放变换矩阵：,2.缩放变换,三维图形的基本变换,(2)相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换,其步骤为： 1.将参考点平移到坐标原点处； 2.进行缩放变换； 3.将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置,则变换矩阵为：,对称变换,对称变换有关于坐标原点、坐标轴、坐标平面等对称变换。这三种对称变换的矩阵容易得到，只要把恒等变换矩阵主对角线上元素改变符号即为相应的对称变换矩阵。,A. 关于坐标平面的对称变换： (1) 关于xOy平面的对称变换 其变换矩阵为：,变换后的结果为： x y z 1 = x y z 1 Txy = x y -z 1,(2

14、) 关于yOz，zOx平面的对称变换 它们的变换矩阵分别为：,B. 对坐标轴的对称变换：,(1) 关于x轴的对称变换 其变换矩阵为： 变换后的结果为： x y z 1 = x y z 1 Tx = x -y -z 1,(2) 关于y,z轴的对称变换 它们的变换矩阵分别为：,C. 对坐标原点的对称变换：,其变换矩阵为： 变换后的结果为： x y z 1 = x y z 1 T = -x -y -z 1,3.旋转变换,三维图形的旋转变换是指三维立体饶坐标轴或任意轴旋转角，其旋转方向符合右手系，即大拇指指向旋转轴的正向，其余四指的旋向为转角的正向。 三维图形旋转变换比二维图形旋转变换要复杂些，但也可

15、将二维图形旋转变换的基本方法作为三维图形旋转变换的基础。,三维图形的基本变换,三维立体绕x旋转时，立体上各点的x坐标不变。只是y,z两个坐标有变化，其变换规律如同二维平面yOz平面上的旋转变换规律一样，即其变换矩阵为：,变换后的结果为： x y z 1 = x y z 1 Tx = x ycos+zsin zcos-ysin 1,1. 绕 x 轴旋转角,2. 绕 y 轴旋转角 三维立体绕x旋转时，立体上各点的y坐标不变。只是x,z两个坐标有变化，其变换规律如同二维平面zOx平面上的旋转变换规律一样； 其变换矩阵为：,3. 绕 z 轴旋转角： 其变换矩阵为:,三维几何变换的函数,和二维类似，三维

16、几何变换也有三条函数，分别执行建立变换矩阵，复合变换和坐标变换的功能。,参数图形几何变换,前面介绍的二维、三维图形的几何变换均是基于点的几何变换。对于可用参数表示的曲线、曲面图形，若其几何变换仍然基于点，则计算工作量和存储空间都很大，下面介绍几种对参数表示的点、曲线及曲面直接进行几何变换的算法。,参数图形几何变换,圆锥曲线的几何变换,圆锥曲线的二次方程是Ax2xyy2xy， 其相应的矩阵表达式是 :,简记为XSXT,圆锥曲线的几何变换,(1)平移变换,平移后圆锥曲线矩阵方程是XTrSTTrXT,(2)旋转变换,旋转后的圆锥曲线矩阵方程是XRSRTXT,对圆锥曲线相对(m,n)点作旋转角变换，则

17、旋转后的 圆锥曲线是上述Tr、R变换的复合变换 ，变换后的方程 请同学自行推导,圆锥曲线的几何变换,(3)比例变换。,二次曲面也有与上述类似的矩阵表示和几何变换表达式,4.4 坐标系统,1.常见的坐标系系统： （1）维度： 一维坐标系统 二维坐标系统 三维坐标系统 （2）坐标轴之间的空间关系 直角坐标系统 园柱坐标系统 球坐标系统等,2.用于显示输出的坐标系统,1)世界坐标系(world coordinate Systems),2)局部坐标系(Local Coordinate System),3)观察坐标系(Viewing coordinate systems),4)成像面坐标系统,5)屏幕坐

18、标系统，也称设备坐标系统,从建模坐标到最后设备坐标的三维变换流水线,模型坐标,模型坐标,世界坐标,观察变换,观察坐标,投影变换,投影坐标,工作站变换,设备坐标,三维空间创建和显示一个(多个)几何物体的过程,1）建立世界坐标系,）指定视点的方位、视线和成像面的方位,）各坐标系之间视见变换之后，进行投影变换，,）得到物体的成像,4.5 投影变换,1.基本概念,投影变换就是把三维立体投射到投影面上而得到的平面图形。任何立体都需要经过投影变换才能在平面上表现出来。,(1)右手系统： 当用右手握住z轴时，大姆指指向z轴的正方向， 其余四个手指从x轴到y轴形成一个弧。,(2)左手系统： 当用左手握住z轴时

19、，大姆指指向z轴的正方向； 其余四个手指从x轴到y轴形成一个弧。,2.两种三维直角坐标系统,两种三维直角坐标系统,3.投影分类,投影中心与投影平面之间的距离为无限,投影中心与投影平面之间的距离为有限,根据投影方向与投影平面的夹角,根据投影平面与坐标轴的夹角,透视投影,平行投影,平行投影,投影中心与投影平面之间的距离为无限 因此，只需给出投影方向即可 是透视投影的极限状态,平行投影,根据投影线方向与投影平面的夹角，平行投影分为两类： 正平行投影与斜平行投影,正平行投影,斜平行投影,正平行投影包括：正投影（三视图）和正轴侧投影 三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。 正轴侧：投影面和坐标轴呈一定的关

20、系。,正平行投影,三视图,三视图：正视图、侧视图和俯视图,在右手直角坐标系中，将三维立体向xOz面（正面V）作正投影，得到主视图。由投影变换前后三维立体上点到主视图上点的关系，可知此投影变换的变换矩阵为：,(1) 正视图,Tv：正视图的投影变换矩阵，简称投影矩阵。 若已知三维立体上 n 个点(xi , yi , zi)，则各点的齐次坐标可写成 n4 阶矩阵，主视图的投影变换矩阵表示式为：,在绘图时，只要取x=xi , y=zi (i=1,2,n)，就可在屏幕上绘出三维立体的主视图。,三维立体向xOy面（水平面H）作正投影得到俯视图。,为了使俯视图与主视图也画在一个平面内，就要使H面绕x轴负方向

21、转90o，此旋转变换矩阵为：,(2) 俯视图,其投影变换矩阵：,为了使俯视图与主视图间有一定的间距，还要使H面沿负z方向平移一段距离z0。其变换矩阵为：,因此俯视图的投影变换矩阵为上面三个变换矩阵的连乘积，即：,俯视图的投影变换矩阵表示为：,由此得到三维立体的俯视图上n个点(xi , -yi-z0) (i=1,2,n)，取x=xi , y=-yi-z0(i=1,2,n)，便可绘出三维立体的俯视图。,将三维立体向yOz面(侧面W)作正投影得到俯视图。,为了使俯视图与主视图都画在一个平面内，就要使W面绕z轴转90o，此旋转变换矩阵为：,(3) 侧视图,其投影变换矩阵：,为了使侧视图与主视图间有一定

22、的间距，还要使W面沿负x方向平移一段距离x0。其变换矩阵为：,因此侧视图的投影变换矩阵为上面三个变换矩阵的连乘积，即：,其中TW矩阵的第二列为零说明W面绕z轴转90o后，yOz上的投影变成了xOz面上的投影。,侧视图的投影变换矩阵表示为：,由此得到三维立体的侧视图上n个点(-yi-x0 , zi) (i=1,2,n)，取x= -yi-x0， y=-zi(i=1,2,n)，便可绘出三维立体的侧视图。 先让三维立体作投影面，然后旋转投影面得到平摊在同一个平面上的三个视图。也可以先把三维立体作旋转，然后再向投影面作正投影得到同样的三视图。,正轴测投影,当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴

23、时，产生的正投影称为正轴测投影。,正轴测投影分类： 正等测 正二测 正三测,正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。,正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。,正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。,正轴测投影的形成过程如下： 将空间一立体绕绕y轴旋转y角 然后再绕x轴旋转x 最后向z=0平面做正投影,由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。

24、,正轴测投影变换矩阵的一般形式：,正二测和正等测,下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的x角和y角。 如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？,正二测和正等测,正二侧投影需满足： 假定Z轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2；即取Z轴的变形系数恒为1/2： 可得：x=20。42, y =19。28。 变换矩阵为,正二测和正等测,正等侧投影需满足： 求得： 正等测图的变换矩阵为,斜平行投影,投影线与投影平面不垂直 斜等测投影 投影平面与一坐标轴垂直 投影线与投影平面成45角 与投影平面垂直的线投影后长度不变 斜二测投影 投影平面与一坐标轴垂直 投影线与该轴夹角成 arcctg(1

25、/2)角 该轴轴向变形系数为 。即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半。,斜平行投影,斜等测投影和斜二测投影,4.5.3 透视投影变换,透视图和轴测图都是单面投影图，所不同的是轴测图是用平行投影原理形成的，透视图是用中心投影原理形成的。 两者虽然都是立体图，但透视图的效果更接近人们用肉眼观察的实际效果，因而它的立体感和真实感均优于轴测图。,透视图的形成,假设在观察者与物体之间放置一透明的画面M，透视投影中心称为视点，视点与物体上各点的连线称为视线，各视线与画面的交点a,b,称为A,B,各点的透视，将物体各点的透视连接起来便得到立体的透视投影图。,灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投

26、影之后收敛于一点，称为灭点. 主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点。 主灭点数：和投影平面切割坐标轴的数量相对应的,即由坐标轴与投影平面交点的数量来决定的。 如：投影平面仅切割z轴，则z轴是投影平面的法线，因而只在z轴上有一个灭点，平行于x轴或y轴的直线也平行于投影平面，因而没有灭点。,透视投影图,透视变换矩阵 一点透视 两点透视 三点透视,特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。,一点透视,先假设q 0，p=r=0。然后对点（x,y,z）进行变换，结果如下：,一点透视,齐次化得：,当y=0时： (x* , y*, z*) = (x, 0 , z) 即处于y=0

27、平面上的点，经过透视变换后没有变化。 当y时：(x* , y*, z*) = ( 0, 1/q , 0) ( 0, 1/q , 0)就是灭点，象这样形成一个灭点的透视变换称为“一点透视”,一点透视效果图,q0,同理，当p0，q=r=0时，将会在x轴上的1/p处产生一个灭点，其坐标值为（1/p, 0, 0），此时所有平行于x轴的直线将延伸交于该点。 当r 0，p=q=0时，将会在z轴上的1/r处产生一个灭点，其坐标值为（0, 0 ,1/r），此时所有平行于z轴的直线将延伸交于该点。,两点透视,p,q,r中有两个为非零数，将会生成两个灭点，因此得到两点透视。 当p 0，r 0时，结果为：,齐次化得

28、： x* = x/(px+rz+1) y* = y/(px+rz+1) z* = z/(px+rz+1),当x时：一个灭点在x轴的1/p处 当z时：一个灭点在z轴的1/r处,三点透视,当p,q,r都不为0时，结果将会产生三个灭点，从而形成三点透视。产生的三个灭点分别在x轴的1/p处、 y轴的1/q处、 z轴的1/r处。,由上式可看出： 当x-时，在X轴上1/p处有一个灭点； 当y-时，在Y轴上1/q处有一个灭点; 当z-时，在Z轴上1/r处有一个灭点；,生成透视投影图的方法：,先是对立体进行透视变换，然后是将其投影到正面投影面上，形成正投影图。 透视投影矩阵：,一点透视投影图的生成,为了获得较

29、好的效果，通常将立体平移到一个合适的位置，然后在进行透视投影变换。 则生成一点透视投影的变换矩阵为：,取-1q0，可获得效果较好的透视图。,当立体经透视变换后，若直接投影到V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕Z轴旋转后，以使物体轴线不与投影面垂直，再向V面上投影其效果会更好。 变换过程如下： 1）先对立体进行二点透视变换； 2）再把变换结果绕Z轴旋转一角度； 3）最后将上述变换结果投影到投影面上。,二点透视投影图的生成,三点透视投影图生成,与二点透视投影图生成变换理由一样，在透视变换后，先对变换结果作旋转变换，以保证透视投影面与物体上的三个坐标轴均不平行，从而获得立

30、体效果更好的透视投影图。变换过程如下： 1）首先对物体作三点透视变换； 2）将透视变换结果绕Z轴旋转一角度 3）再绕X轴旋转一角； 4）将上述结果投影到投影面。,4.6基于VC+的OpenGL坐标变换,OpenGL通过相机模拟、可以实现计算机图形学中最基本的三维 变换，即几何变换、投影变换、裁剪变换、视图变换等，同时， OpenGL还实现了矩阵堆栈等。理解掌握了有关坐标变换的内容， 就算真正走进了精彩地三维世界,三维物体到二维图象,和用相机拍照一样的过程,1、将相机置于三角架上，让它对准三维景物 相当于OpenGL中调整视点的位置， 即视点变换（Viewing Transformation）,

31、2、将三维物体放在场景中的适当位置， 相当于OpenGL中的模型变换（Modeling transformation）， 即对模型进行旋转、平移和缩放。,3、选择相机镜头并调焦，使三维物体投影在二维胶片上， 相当于OpenGL中把三维模型投影到二维屏幕上的过程， 即OpenGL的投影变换（Projection Transformation）,三维物体到二维图象,三维物体的显示过程如下：,4、冲洗底片，决定二维相片的大小， 相当与OpenGL中的视图变换（Viewport Transformation）,相机模拟OpenGL中的各种坐标变换,4.7 图形裁剪,点的裁剪,图形裁剪中最基本的问题。 假设窗口的左下角坐标为(xL,yB),右上角坐标为(xR,yT)，对于给定点P(x,y),则P点在窗口内的条件是要满足下列不等式：xL = x = xR 并且yB = y = yT否则，P点就在窗口外。 问题：对于任何多边形窗口，如何判别？,4.7.1 直线段的裁减算法,线段的裁剪（如何高效地裁剪线段） 线段与裁剪框的位置关系有三种情况： 内（全显） 外（全擦除） 内-外（框内显外擦） 算法任务：确定可见部分之两端点。,直接求交算法,直线与窗口边都 写成参数形式， 求参数值,编码裁剪法,基本思想： 对于每条线段P1P2分为三种情况处理: （1）若P1P2完全在窗口内，则显示该线段P1P2。