简单的超越不等式

1、第49课 简单的超越不等式考试目标 主词填空1.指数不等式通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a1时,af(x)ag(x) f(x)g(x);0aag(x) f(x)1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;0alogag(x) 0f(x)g(x).3.三角不等式形如:sinxa,sinxb及asinxb的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0x2)及y2=a(或b)(0x2)图，得出满足x0,2的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.形如:cos

2、xa,cosxb及acosxb的不等式，除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下：在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b), 的图像，先得出满足条件x 的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.形如:tanxa,tanxb及atanxb的不等式,有直接的结论可用:tanxa的解集是: .tanxb的解集是:.atanxb的解集是:k+arctana,k+arctanb,kZ.题型示例 点津归纳【例1】 解下列对数、指数不等式:(1)9x-3x-20;(2)(log23x)2+(log23x)-20;(3)2x

3、log2x+2x-log2x-10.【解前点津】 (1)视3x为新变量，可因式分解,(2)视log23x为新变量对象，同样可因式分解，(3)分组分解因式，讨论求解.【规范解答】 (1)化原不等式为:(3x+1)(3x-2)0恒成立,故原不等式可化为:3x-20即3x2xlog32;(2)化原不等式为:(log23x-1)(log23x+2)0log23x1或log23x-2log23xlog22或log23xlog23x2或03x.故原不等式的解集为:.(3)分组得:(2xlog2x+2x)-(log2x+1)0(2x-1)(log2x+1); (2)cosx-;(3)tan2004x-1;

4、(4)- sin(3x-).【解前点津】 利用基本函数y=sint.y=cosx的图像求解.【规范解答】 (1)令2x=t,则sint,在同一坐标系中作函数y1=sint(0t2)及y2=(0t2)的图像,容易算出两函数图像交点的横坐标分别是.故当t0,2时,有:.从而当tR时有2k+,即:2k+,解之:k+ ,kZ.(2)在同一坐标系中作函数y1=cosx在的图像,及函数y2=-的图像.当cosx=-时,x=.故当-x时,cosx-的解为: x原不等式的解为2k+x2k+,kZ.(3)当tan2004x=-1且-2004x时,2004x=-.故由k-2004xk+得原不等式解为: ,kZ.

5、(4)令t=3x-,在同一坐标系中,作如下三个函数的图像:y1=sint,y2=-,y3=,当t0,2时,可算出交点A、B、C、D的横坐标依次为: , ,.因夹在两平行直线间的曲线有如下几段:故由0t得在R上x满足:2k3x-2k+,或2k+3x-2k+,或2k+3x-2k+2.故原不等式解集为:(kZ).【解后归纳】 利用图像法解三角不等式，关键是利用了函数的周期性，先在一个周期内确定不等式的解,然后得出原不等式的整个解集，这叫做“化难为易”.【例3】 求下列函数的定义域:(1)y=; (2)y=.【解前点津】 先列出不等式，再化简不等式，最后求解不等式.【规范解答】 (1)由1-sin2x

6、-cos2x0得sin2x+cos2x1sin(2x+),令t=2x+,得sint.当t0,2时,由sint=得,t=及.故当t0,2时,由sint得:0t或t22k2x+2k+或:2k+2x+2k+2，解之:k-xk或k+xk+(kZ).(2)由k-x-kk-0,a1).【解前点津】 令t=ax,先转化为关于t的不等式，再将底数化为相同，从而去掉对数符号.【规范解答】 令t=ax,则t0,原不等式为:log2(4-t)-log4(t-1)1,由对数性质得4-t0且t-10从而:1t4.又由log4(4-x)2-log4(t-1)1得:log4(t-4)2log44(t-1) t2-12t+2

7、002t10,故2,10(1,4)=2,4即2t42ax1时,原不等式解集为:loga2,2loga2);当0a B.a C.0a D. a13.不等式解集是 ( )A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)4.不等式lg(x2+2x+2)2的解集是 ( )A.(-1,sin2) B.(cos2,) C.(-1,cos2) D.(cos2,1)6.设A=x|lg(x-1),B=x|lg(x-1),则AB等于 ( )A. R B.(1,+) C.(1,) D.(1, )7.不等式logx1的解集为 ( )A.(0, ) B.(,+) C.( ,1) D.(0, )(1

8、,+)8.不等式的解集为 ( )A.(3,+) B.(1,5) C.(1,4)(4,5) D.(3,4)(4,5)9.若不等式x2-logmx5x-3的解集是 .11.当0a102lga的解集为 .12.不等式sinx-的解集为 .13.不等式tan(x-)的解集为 .三、能力提高14.解下列指数不等式:(1) ;(2)|2x-3|+4x-30.15.解对数不等式:logx5-2logx3.16.解关于x的不等式:17.解不等式:.第7课 简单的超越不等式习题解答1.A换元法,令y=lgx,先解出关于y的分式不等式.2. A由原不等式得:3x+a2-(x2-2ax)恒成立,从而知关于x的不等式

9、x2+(3-2a)x+a20恒成立,由=(3-2a)2-4a2.3. B由8-x2-2xx2-2x-80,即(x-4)(x+2)0故x(-2,4).4.C解不等式组0x2+2x+210即得.5.Dsin(0,1),01-xsin2,1-sin2x0得1x,设I=(1, ),A=,B=,AB=I.7.D由8. D.9. Af(x)=x2在(0,)内单调增，欲使x2logmx,则0m1.g(x)=logmx在(0, )内单调减，logm2-1,logm2-1,m,m,m1.10.由原不等式解:(5x-10且5x-3(5x-3)2) x0,1.11.102lga=a2,化原不等式为:x2+x-882

10、,-10x9.12.由sinx=-及x0,2得:x=, .故由x0,2及sinx-得, x,从而知原不等式解集为2k+,2k+,kZ.13.由x-(-, )及tan(x-)=得:x-=,即x=.故原不等式的解集为k+,k+,kZ.14. (1)原不等式x2-53x-1-1x4,故原不等式解集为(-1,4).(2)化原不等式为: 0x1时,log5x0,可化为4logx+3log5x-10,解之:-1log5xx5,此时不等式的解集为A=(1,+)(,)=(1, ).(2)当0x1时,log5x0,解之:log5x0x,此时不等式的解集为B=(0, ).综上所述知原不等式的解集为AB=(0, )(1,).16.令t=ax,则化原不等式为:t-1.其等价不等式为:或t1,0t,即0ax1时,xloga;当0alo