空间几何练习题一

1、1四边都相等的四边形不一定是菱形（如空间四边形）2 无公共点的两条直线不一定平行（可能是异面的）；不平行的两条直线不一定相交（可能异面）3分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线（可能平行，也可能相交）4两两相交的三条直线不一定共面（如教室中三面墙的交线），当它们相交于一点且不共面时，能确定三个平面5平行于同一平面的两条直线不一定平行（可能相交，也可能异面）6两条平行线中的一条直线平行于一个平面，但另一条不一定平行于这个平面（另一条可能在这个平面内）7一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，这两个平面不一定平行（当这个平面内的任意一条直线，平行于另一个平面时，这两个平面平行）8夹在两平行平面

2、间的等长线段不一定平行（还可能相交，也可能异面）9与两条异面直线都相交的两条直线不一定异面（还可能相交）CDABDCABNFGEM例1 如图：已知正方体ABCDABCD中，面对角线A B，BC上分别有两点E、F，且BE = CF求证：EF平面ABCD；平面AC D平面ABC一、 线与面垂直关系转化线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题和求解问题例2 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CE = CA= 2BD，M是EA的中点，求证：DE = DA；平面BDM平面ECA

3、；平面DEA平面ECA E B A D F M C NABDCCDABMN二、 创设辅助线与面如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是面是促进转化的重要环节例3 正方体ABCDABCD中，M、N分别是对角线AB、BC上两点，且=，求证：MN平面ABCD1.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN，BB平面ABCD，BBAB，BBBC，EMBB，FNBB，EMFNA B= BC，BE = CF，AE = BF，又BAB =CBC = 45，RtAMERtBNF，EM = FNCDA

4、BDCAB四边形MNFE是平行四边形，EFMN又MN平面ABCD，EF平面ABCD证明：如图 正方体ABCDACD中，ADBC，CDB A，又ADCD= D，BCB A= B，平面ACD平面ABC说明：较低一级的位置关系，判定着较高一级的位置关系，如线线平行线面平行面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行线面平行线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证题中的主要思维指向2.分析：要证明DE = DA，只须证明RtDFERtDBA；注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；仍需证明平面DE

5、A经过平面ECA的一条垂线证明：如图，取EC的中点F，连接DF，ECBC，易知DFBC，DFEC在RtDFE 和RtDBA中，EF =EC = BD，FD = BC =AB，RtDFERtDBA，故DE = DA取CA的中点N，连接MN、BN，则MNEC，MNBD，即N点在平面BDM内，EC平面ABC，ECBC，又CABN，BN平面ECA，BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECADMBN，BN平面ECA，DM平面ECA，又DM平面DEA，平面DEA平面ECA说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直转化途径进行3.分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：用“面面平行线面平行”；添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：由“面面平行线面平行”去证ABDCCDABMKN在面AB内，作MKAB，交BB于K点，连接KN，由平行线截割定理知=，而=已知）， = ，则KNBC，平面MKN平面ABCD，即平面MKN平面ABCD=，而MN平面MKN，MN平面ABCD添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证ABDCCDABNM连接BM并延长交AB于P点，连接P