现代科技综述知识文库：Hadamard矩阵猜想

1、现代科技综述系列Hadamard矩阵猜想科技是人类区别于动物的重要文明之一，是人类对自然规律研究和利用的学科。本文提供对科技基本概念“Hadamard矩阵猜想”的解读，以供大家了解。Hadamard矩阵猜想若一个n阶矩阵Hn=(hij)的元素hij取值为+1或1，且满足正交性条件 那么矩阵Hn叫做n阶Hadamard矩阵，简称为H矩阵，条件(1)可表为 HnHnT=nIn (2) 其中是Hn的转置，In是n阶单位矩阵。1893年，Hadamard证明：n阶实矩阵A=(aij)在条件aij1下其行列式detA满足detAnn2(Hadamard不等式)，而当等号成立，即 detA=nn2 (3)

2、 时，便是Hadamard矩阵。Hadamard矩阵的名称就是由此产生的。然而，把Hadamard矩作为正交矩阵来研究，是早远在它获得“Hadamard矩阵”这个名字以前的1867年，这是由Sylvester开始的。由上述3个等价条件(1)、(2)和(3)知，一个H矩阵Hn经过等价变换：行换序、列换序、对某些列的所有元素乘以1、对某些行的所有元素乘以1、转置，产生的矩陈仍然是H矩阵。Hadamard矩阵，除了在信息论、统计学和电子技术等方面有广泛的应用外，作为数学本身的问题，也是重要的和有趣的。最简单的H矩是一阶和二阶H矩：H1=(1)，H2= ()。然而，一个阶数大于二的H矩阵，它的阶数一定

3、是4的倍数。但是，一个数是4的倍数，是否存在一个H矩阵其阶数恰好是这个数?这是一个尚未能解决的难题，人们猜想：若n0(mod4)那么存在n阶H矩阵。这就是人们常说的着名的Hadamard矩阵猜想。1867年Sylvester从二阶H矩H2开始，用递归构作的方法得到一族2k阶H矩阵： 这族H矩通常叫做sylvester扩大。从此，开始了Hadamard矩阵构作方法的研究。最简单的构作方法是由两个已知H矩阵的Kronecker积来构作另一个H矩阵。设An=(aij)和Bm=(bij)分别是n阶和m阶H矩阵。那么An与Bm的Kronecker积 AnBm=(aijBm) 也是一个mn阶H矩，因而，K

4、ronecker积的方法拓广了Sylevster扩大。因为4n阶H矩阵和二阶H矩阵的kronecker积为8n阶H矩阵，所以，构作n为奇数的4n阶H矩阵，是证实Hadamard矩阵猜想的关键。1933年paley用二次剩余法对4n1为素数幂的情形和2n1为素数幂的情形构作了4n阶H矩阵。设p为素数，且4n1=pr，r为正整数。并设a0，a1，为GF(pr)的元素，使得a0=0和，i=1，2，pr1，在GF(pr)上定义特征函数： 于是，构造矩阵Q=(qij)，qij=x(aiaj)，又令 此处e是元素为1的pr维列向量。因此，是4n阶H矩，又若2n1=pr，r为正整数，按照上述方法构造矩阵Q，

5、且令 从而，是4n阶H矩阵。1944年，Williamson对一般n，利用4个n阶对称循环矩阵构作4n阶H矩阵，设A、B、C、D为n阶对循环矩阵，且其元素都是+1和1，如果满足A2+B2+C2+D2=4nIn，那么 是4n阶H矩阵，并把形如H4n的H矩阵叫做Williamson型H矩阵。因此，利用这个方法，对于逃过paly的网眼的阶数92，116，156，172，188，236，Williamson构作了其中172阶H矩阵。又因为Williamson方法适合用电子计算机探索，1961年，Baumert借助电子计算机找出了92阶H矩阵。此后不久，116阶H矩阵也得到了。1965年，Baumert

6、和Hall证明：若4n阶Williamson型H矩阵存在，则必存在12n阶H矩阵。从而，156阶H矩阵也相继得到。1967年，Goethals和Seidel撤掉Williamson方法中要求A、B、C、D的对称性的限制，给出了构作H矩阵的方法。设A、B、C、D是具有元素为+1和1的n阶循环矩阵。若条件 AAT+BBT+CCT+DDT=4nIn 成立，那么 阵，其中 n阶矩阵。并把上述矩阵A、B、C、D称为n阶Williamson矩阵。从此以后的研究越来越趋精细化。精细化的代表人物Turyn用各种手段得到188阶(1973年)和236阶(1974年)的H矩阵。在某种程度上使Turyn的方法系统化

7、，便是T矩阵。wallis和cooper把4个n阶Williamson矩阵W1，W2，W3，W4和四个m阶T矩阵A、B、C、D组合X=AW1+BW2+CW3+DW4 Y=AW2+BW1 CW4+DW3 Z=AW3+BW4+CW1DW2 V= AW4BW3+CW2+DW1 便得4个mn阶Williamson矩阵。从而，达到构作更高阶H矩阵的目的。1985年，泽出和江构作出特殊的67阶H矩阵。Williamson利用4个n阶对称循环矩阵构作4n阶Williamson型H矩阵。然而，对任意正奇数n，是否存在4n阶Williamson型H矩阵?这也是一个尚未解决的问题，虽然，20世纪70年代turyn

8、和Whiteman先后对一些特殊的正奇数n，证明Williamson型H矩阵存在，离这个问题的彻底解决还相距甚远。Hadamard矩阵从作为正交矩阵的研究开始，已有100多年历史，但至今仍然存在着许多尚未解决的问题，归结起来有如下猜想：(1)对任意正整数n，存在4n阶Hadamard矩阵；(2)对任意正奇数n，存在4n阶Williamson型Hadamard矩阵；(3)由等价变换可把一个Hadamard矩阵变换为对称的和斜对称的Hadamard矩阵。在这些猜想中，猜想(1)是最根本的，也是将来的热点问题，要证明这一猜想，就得表明4n阶Hadamard矩阵的存在性。这需要做两方面的工作，一是研究

9、一种崭新的、带有普遍性的构作方法；二是找出一种新途径，把已知的Hadamard矩阵或有关知识加以推广，使能造出新的Hadamard矩阵。设Hn=(hij)是n阶H矩阵。是n元集合，定义s上的子集系=s1，sn，使得hij=1，则jsi，且满足条件： 其中sisj表示集合Si与Sj的对称差，并称为Hn的关联子集系。显然，若存在n阶H一矩阵，则必存在Hn的关联子集系。反之亦然。从而，把Hadamard矩阵的研究转化为Hadamard矩阵关联子集系的研究。因此，如果对集合s再加一些限制，可能会使Hadamard矩阵的研究有较大的进展。【参考文献】： 1 Sylvester J J. phil Mag, 1867,34(4) :461475 2 Paley R E A C. J Math phys,1933,12:311 320 3 Williaman J. Duke Math J, 1944,11:6581 4 Baumert L D. Math of Comp, 1965,19:442447 5 Turyn R J.