工程图学基础第二章2.ppt

1、,2.3 直线的投影,三、直线上的点,四、两直线的相对位置,五、垂直两直线(一边平行于投影面),二、各种位置直线的投影特性,六、用直角三角形法求一般位置线段实长 及与投影面的夹角,一、直线的投影,一、直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,2.3.1 直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 投影不反映线段实长 ab=AB*cos,(m),结论：直线的投影由直线的位置决定，投影一般为线，特殊情况下为点,1、直线对一个投影面的投影特性, 直线在三个投影

2、面中的投影特性,一般位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。直线对投影面的相对位置有三种情况:一般位置直线,投影面平行线,投影面垂直线., 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,水平线（平行于面),侧平线（平行于W面）,正垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,统称特殊位置直线,（一）投影面平行线,V,W,H,Y,X,Z,侧平线,水平线,正平线,(1) 水平线 平行于水平投影面的直线(Z相等）,投影特性：1abOZ轴; abOZ轴, ab与投影轴倾斜 图形特性 2 ab = AB, ab AB, ab AB度量特性 3水

3、平投影反映 、 角的真实大小度量特性,AB实长,AB实长,（2）正平线平行于正立投影面的直线（Y相等）,投影特性： 1 ab OYH轴; a bOYW轴, a b与投影轴倾斜 2 a b=AB, abAB, a b AB 3 正面投影反映、角的真实大小,AB实长,AB实长,（3）侧平线平行于侧立投影面的直线（X相等）,投影特性： 1 abOX轴 ; ab OX轴 2 ab =AB 与投影轴倾斜 3侧面投影反映 、 角的真实大小,AB实长,AB实长,总结:投影面平行线的投影特性,在所平行的投影面上的投影反映实长；并反映直线与另两投影面倾角。 其它两投影平行于相应的投影轴，且小于实长。,一斜二正，

4、斜为实长，反映倾角。,例1.过点B作水平线AB的三面投影,长20mm,30，A点从点B向右、向后。,2.投影面垂直线,投影特性 （1） a b积聚成一点 （2） a bOX; ab OYW （3）a b ab AB,正垂线 垂直于正面投影面的直线。,投影特性 （1） a b积聚成一点 （2） a b OX; ab OZ （3）abab AB,侧垂线 垂直于侧面投影面的直线。,投影特性 （1） ab 积聚成一点 （2） ab OYH; a b OZ （3）ab a b AB,总结：投影面垂直线的投影特性,在所垂直的投影面上的投影积聚 为一点； 其它两投影垂直于相应的投影轴，（平行于同一条轴）并反

5、映实长。,一点两线，线垂直于轴，等于实长。,3.一般位置直线,投影特性 （1） ab、 a b 、 ab均小于实长 （2） ab、 a b 、 ab均倾斜于投影轴 （3）不反映、角的真实大小,判断下列直线对投影面的相对位置,a,一般位置,正平,铅垂,侧垂,侧平,三、直线上的点,若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,AC/CB=ac/cb= ac/ cb,定比定理,并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1两段，求分点C的投影c、c 。,例3.判断点K是否在线段AB上。

6、,a,b,另一判断法?,因k不在ab上，故点K不在AB上。,四、两直线的相对位置,1.平行两直线,若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行,要根据第三投影判断。,d,O,Z,YH,YW,2.相交两直线,当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间

7、一点的投影规律。反之亦然。,交点是两直线的共有点,两直线交叉,投影特性：,同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,3(4 ),1(2),交叉两直线的投影及重影点可见性的判断,1(2),例4.过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例5.判断两直线的相对位置,平行,相交,交叉,相交,交叉,例6.过点A作直线AB与直线CD相交，交点距H面距离为20mm。,b,b,b,b,b,b,例7.作直线AB

8、与直线PQ平行，与直线ED、HG相交。,五、垂直两直线(一边平行于投影面),若直角有一边平行于投影 面，则它在该投影面上的 投影仍为直角。,设 直角边BCH面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,直角投影定理,例8.过C点作直线与AB垂直相交。,d,AB为正平线, 正面 投影反映直角。,例9.作线段AB、CD的公垂线EF。,2.3.6 直角投影定理,定理二： 两直线在某一投影面上的投影为直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线垂直。,例：判断两直线是否垂直（相交垂直、交叉垂直）,（否）,（

9、相交垂直）,（否）,（交叉垂直）,（相交垂直）,（否）,六、用直角三角形法求一般位置线段实长及 与投影面的夹角,1.求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,C,2.求直线的实长及对正面投影面的夹角角,|yA-yB|,|yA-yB|,C,|yA-yB|,3求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,x,例10.已知线段AB的正面投影ab和A点的水平投影a，且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。,b,例11.已知线段AB的正面投影ab 和A点的水平投影a，且B点在A点的前方，求它的水平投影。,b,b,例12.已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已

10、知长度L。,AB,zA-zB,ab,例13.作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3,b,例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知AC为斜边，顶点B在直线NC上。,直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。 两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,小结,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一

11、点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投

12、影都不 反映直角。,直角定理,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,1.用几何元素表示平面,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,2.平面的迹线表示法,二、各种位置平面的投影特性,平行,垂直,倾斜,实形性,积聚性,类似性,平面的投影特性,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,平面对于三投影面的位置可分为三类,1.一般位置平面,投影特性 （1） abc、 abc 、 abc均为ABC的类似形 （2） 不反映、角的真实大小,2.投影面垂直面,投影特性,铅垂面 正垂面 侧垂面,（1）abcd积聚为一条线 （2） abcd 、 abcd均为ABCD的类似形 （3

13、）abcd与OX、OY的夹角反映 、角的真实大小,正垂面,投影特性,（1） abcd 积聚为一条线 （2） abcd 、 abcd均为ABCD的类似形 （3）abcd与OX、OZ的夹角反映 、角的真实大小,水平面 正平面 侧平面,3.投影面的平行面,投影特性,（1） abcd 、 abcd 积聚为一条线，具有积聚性 （2）水平投影 abcd 反映ABCD的实形,正平面,投影特性,（1） abcd 、 abcd 积聚为一条线，具有积聚性 （2）正面投影 abcd反映ABCD的实形,侧平面,投影特性,（1）abcd 、 abcd 积聚为一条线，具有积聚性 （2）侧面投影 abcd反映ABCD的实形

14、,三、属于平面的点和直线,1.平面上的直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,2.平面上的点,点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。,例1.已知平面由两平行直线AB、CD确定，试判断点M是否在该平面内。,t,s,t,s,例2.已知点K在ABC上，试求点K的水平投影。,例3.已知点E在ABC上，试求点E的正面投影 。,例4.已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,3.包含直线作平面,S,过一般位置直线AB作铅垂面PH,过一般位置直线AB作正垂面SV,P,过一般位置直线可作投影面的垂直面,例5.过

15、点A、B分别作正平面、正垂面，过CD作铅平面。,（2）作正垂面,（1）作正平面,（3）作铅垂面,4.属于平面的投影面平行线,例6.在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的 距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解？,例7.已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,b,c,k,b,解法一,解法二,例8.已知点K在ABCD平面上，且点K距离H面10mm，距离V面15mm，试求点K的投影。,例9.已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。,e,d,c,e,例10.已知BD是ABC上与W、H两投影面等距离点的轨迹，A点与W、V两投影面等距，完成A

16、BC的投影。,例11.在ABC上作出与W、H两投影面等距离点的轨迹。,X,Y,O,Z,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线积聚性。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形实形性。 另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线, 平面上的点,一定位于平面内的某条直线上。, 平面上的直线,（1） 过平面上的两个点。,（2）过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,小

17、 结,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,判别已知线、面是否平行；,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,有关线、面平行的作图问题有：,作直线与已知平面平行；,包含已知直线作平面与另一已知平面平行。,若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面平行。,1.直线与平面平行,直线与平面平行的条件,例1.过M点作直线MN平行于平面ABC。,例2.判别直线AB是否平行于平面DEF。,结论：直线AB不平行于定平面,k,例3.过点D作正平线与平面平行。,m,例4.过点C作平面平行于直线AB。,例5.补全与已知直线平行的平面。,m,例6.已知线段MN=30mm，

18、点N在点M之后，且线段MN与ABC平行，完成MN和ABC的两面投影。,P,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,2.两平面平行,两平面平行的条件,m,n,r,s,结论：两平面平行,例7.试判断两平面是否平行。,例8.过交叉两直线AB和CD各作一平面,使它们互相平行。,例9.已知定平面由平行两直线AB和CD给定,试过点K作一平面平行于已知平面。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互相平行。,例10.试判断两平面是否平行。,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,直线与平面相交,平面与平面相交,二、相交问题,解决的问题是：,求交点

19、、交线。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,平面与平面相交，交线是直线为两平面的共有线。,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直 接求出。,.一般位置直线与特殊位置平面相交,2.投影面垂直线与一般位置平面相交,k,铅垂线与一般位置平面相交 示意图,ab,判别直线的可见性,1,( ),3.一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。,4.一般位置直线与一般位置平面相交,以辅助平面求线面交点 示意图,4.一般位置直线与一般位置平面相交,步骤： 1.过AB作铅垂平面R。,2.求R平面与CDE的交线MN。,3.求交线MN与AB的交点K。