《离散型随机变量的方差》课件2.ppt

1、离散型随机变量的方差,1.方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义: 设离散型随机变量X的分布列为 方差D(X)=_. 标准差为_. (2)方差的性质:D(aX+b)=_.,a2D(X),2.两个常见分布的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)=_. (2)若XB(n，p)，则D(X)=_.,p(1-p),np(1-p),1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.() (2)若a是常数，则D(a)=0.() (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.(),【解析】(1)错误.离散型随机变量的方差越大，随机变量

2、越不稳定. (2)正确.因为E(a)=a，所以D(a)=0. (3)正确.由离散型随机变量的方差的几何意义可知，其反映了随机变量偏离于期望的平均程度. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p=0.5，则E(X)和 D(X)分别为. (2)设随机变量B ，则D()=. (3)如果X是离散型随机变量，Y=3X+2，那么D(Y)=D(X).,【解析】(1)因为X服从两点分布， 所以X的概率分布为 所以E(X)=00.5+10.5=0.5， D(X)=0.520.5+(1-0.5)20.5=0.25. 答案:0.5和0.25,(

3、2)因为随机变量B ， 所以D()= 答案: (3)由于X是离散型随机变量，Y=3X+2呈线性关系，代入公式，则 E(Y)=3E(X)+2，D(Y)=32D(X)=9D(X). 答案:9,【要点探究】 知识点 方差、标准差的定义及方差的性质 1.对随机变量X的方差、标准差的五点说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的. (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度.,(3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小. (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应 用更广泛. (5)方差也可用公式D(X)=E(X

4、2)-(E(X)2计算(可由 pi展开整理得).,2.随机变量的方差和样本方差之间的关系,3.方差具有的性质 当a，b均为常数时，随机变量=a+b的方差D()=D(a+b)=a2D().特别地: (1)当a=0时，D(b)=0，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(+b)=D()，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身.,(3)当b=0时，D(a)=a2D()，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量=a+b的方差D()=D(a+b)=a2D().,【知识拓展】证明公式D(X)=E(X2)-(E(X)2

5、 证明:D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn =( p1+ p2+ pn)-2E(X)(x1p1+x2p2+xnpn) +(E(X)2(p1+p2+pn) =E(X2)-2(E(X)2+(E(X)2 =E(X2)-(E(X)2. 利用公式D(X)=E(X2)-(E(X)2可以简化求方差的过程.,【微思考】 (1)数学期望与方差表示的含义相同吗？ 提示:不同.数学期望是概率意义下的平均值，而方差体现了随机变量偏离于期望的平均程度. (2)两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？ 提示:由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存

6、在特殊与一般的关系.,【即时练】 (2014杭州高二检测)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差D()= . 【解析】依题意得，随机变量服从超几何分布， 随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为1，2，3.,所以X的分布列为： 由分布列可知E()= =2， 又E(2)= ， 所以D()=E(2)-(E()2 = -22=0.4. 答案:0.4,【题型示范】 类型一 离散型随机变量的方差及标准差的计算 【典例1】 (1)同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则D()=(),(2)已知X的分布列为 设Y=2X+3.求E(Y)，D(Y)

7、.,【解题探究】1.题(1)中两枚硬币同时出现反面的次数服从什么分布？ 2.题(2)中，可以根据分布列直接计算出哪个量的期望与方差？ 【探究提示】1.两枚硬币同时出现反面的次数B . 2.可以利用公式计算出E(X)与D(X).,【自主解答】(1)选A.两枚硬币同时出现反面的概率为 故B ， 因此D()= (2)由条件中所给的随机变量的分布列可知 E(X)= D(X)= 所以E(Y)=E(2X+3)= D(Y)=D(2X+3)=,【延伸探究】在题(1)的条件不变的情况下，求“两枚硬币不 同时出现同面的次数的方差”. 【解题指南】不同时出现同面的次数B . 【解析】不同时出现同面的概率为 .由题意

8、可 知，同时抛掷两枚均匀的硬币10次，不同时出现同面的次数 B ，故D()= =2.5.,【方法技巧】 1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布或二项分布):直接利用定 义求解，先求均值，再求方差. (2)已知分布列是两点分布或二项分布型:直接套用公式求解，具体如下， 若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p). 若XB(n，p)，则D(X)=np(1-p).,(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况. (4)对于已知D(X)求D(aX+b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX+b)=a2D(X)求解.,2.求离散型随机变量的方差、标准差的步骤 (1)理解的意义，写出可能取的全部值. (2)求取各个值的概率，写出分布列. (3)根据分布列，由期望的定义求出E(). (4)根据方差、标准差的定义求出D()， .若B(n，p)， 则不必写出分布列，直接用公式计算即可.,【方法技巧】利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变